Определение пропорции (пропорциональности)

[Vladimirkey]

Добрый день, математики.

1) Наткнулся на вот такое непонимание, в учебниках пишут, например, что площадь круга пропорциональна радиусу в квадрате,

$$S=\pi\cdot R^2$$

Решил посмотреть определение "пропорционально" и увидел, что пропорциональной зависимостью называется зависимость, при которой увеличение/уменьшение одной величины в $n$ раз ведет за собой увеличение/уменьшение в $n$ раз другой.
Собственно, вопрос, в формуле площади круга очевидно, что при увеличении/уменьшении $R$ в $n$ раз не поведет за собой увеличение/уменьшение $S$ в $n$ раз (в такое же количество раз), хотя пишут, что величина $S$ ПРОПОРЦИОНАЛЬНА $R^2$.
Почему пропорциональна, если определение пропорциональности говорит о другом. Либо определение пропорциональности другое, либо я что-то не понимаю, подскажите, пожалуйста, чтобы можно было строго использовать термин "пропорционально" и говорить его туда, где он уместен.

2) Также хотел бы уточнить, может ли выражение $\frac{a}{b^2}=\frac{c}{d^2}$ (1) являться пропорцией, опять же, в определении написано, что пропорцией является выражение $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (2).
Почему задаю такой вопрос: в школе нас учили решать пропорции составляли схему, далее отношение - (2) и так далее. Естественно, никто не говорил в каких случаях можно составлять пропорцию (область применимости) и это будет верно, впоследствии стало понятно, что такие пропорции работают для величин, зависимости которых - линейные, тогда можно было составить такое соотношение путем этой схемы.
Потом понял, что пропорцию в принципе можно составить и для функций нелинейных, но тогда такая пропорция будет выглядеть как (1) и решаться тем же методом, что и обычные пропорции (чего собственно не было в школе).
Так вот, можно ли называть это пропорцией - (1) и решать задачи таким же способом, как и с пропорциями вида (2), тогда не понимаю, почему в школе не говорят о границе применимости данного метода - (2) (что он справделив только для линейных функций), а для других функций можно так же составить пропорцию, только ввести некоторые поправки, получив так же "пропорцию" вида (1).

[mihaild]

Vladimirkey в сообщении #1358781 писал(а):

увеличении/уменьшении $R$ в $n$ раз

Vladimirkey в сообщении #1358781 писал(а):

величина $S$ ПРОПОРЦИОНАЛЬНА $R^2$

Сравните внимательно, что увеличивается в первой и второй строчке.

По второму вопросу - в школе про "пропорции" довольно много довольно бессмысленно машут руками. Если у вас есть равенство вида $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то совершенно неважно, что обозначают эти буквы - конкретные вещественные числа, комплексные числа, функции или вообще элементы произвольной коммутативной группы - из этого всегда следует $ad = bc$.

[Munin]

Обозначьте $Q=R^2.$ Заметьте, что при увеличении или уменьшении $Q$ в $n$ раз величина $S$ также увеличивается или уменьшается в такое же число раз.

Для $\frac{a}{b^2}=\frac{c}{d^2}$ обозначьте $f=b^2,\quad g=d^2,$ и запишите эту формулу в виде $\frac{a}{f}=\frac{c}{g}.$

В школе всему этому должны были научить.

-- 04.12.2018 16:48:05 --

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1358785 писал(а):

из этого всегда следует $ad = bc$.

Причём насколько я понимаю, "пропорциональностью" в математике чаще называют именно это соотношение, чтобы не возиться с $b=0\quad\vee\quad d=0$ как с особыми случаями.

[Vladimirkey]

Благодарю.

Все дело в том, что имея например $3$ величины и их значение, то встает вопрос, могу ли я $4$-ую найти через пропорцию заведомо не зная зависимость между этими величинами и как узнать, является верным найденное значение?

Например, условно:
1) за 1 кг сахара заплатили - $2$ рубля, сколько мы заплатим за $2$ кг сахара? Решаем согласно пропорции, получаем $\frac{1}{2}=\frac{2}{x}$, Находим $x=4$ рубля, но, как узнать, что ответ правильный и здесь можно было воспользоваться данной пропорцией?
2) такой же пример можно привести, например с зависимостью (которая якобы квадратичная (между двумя величинами, как площадь и радиус), но мы не знаем, что она таковой является) и начинаем применять пропорцию к таким величинам (как в 1) ), чтобы найти 4-ую переменную, в итоге получаем неверный ответ. (Пример, задан $R_1=3$ m, $S_1=1.13$ $m^2$ , $R_2=5$ m, Найти $S$ $m^2$. Пользуемся $\frac{1}{2}=\frac{5}{x}$, находим $x$, оказывается неверным из этого соотношения (так как зависимость площади от радиуса нелинейная, но это мы ЗАВЕДОМО знаем).

Эти примеры я привел просто для наглядности, чтобы понять, где верно может получиться, а где нет (Но верность следует лишь из того, что мы ЗНАЕМ какая зависимость заранее, поэтому где-то получается не верно (например с площадью и радиусом). А вот, к примеру, в физике, когда мы вовсе не знаем каков вид зависимости между двумя величинами, но имеем при этом $3$ значения и нужно найти $4$-ую, то используя пропорцию таким образом, можем ли мы точно сказать, верно ли получили ответ?

Я об этом и говорю, что в школе все задачи являются ВЕРНЫМИ в пропорциях, потому что мол зависимости между ценой и килограммами линейные, поэтому мы получаем ответы правильные всегда, используя этот метод.

[mihaild]

Да, нужно знать характер зависимости, иначе ничего не получится. Например, что уплаченная стоимость, деленная на полученную массу, постоянна. Или что площадь, деленная на квадрат радиуса, постоянна. Разумеется про две произвольные характеристики нельзя сказать, что их отношение (даже при прочих равных) постоянно. Например, у каждого товара есть дата изготовления (можно считать, что измеряется в днях с какого-то события), но цена очень вряд ли пропорциональная дате изготовления.

В физике то же самое: скажем, у куба из данного материала есть характеристики "длина ребра", "площадь грани", "объем" и "масса". При этом масса прямо пропорциональна объему, пропорциональна кубу ребра и пропорциональна площади грани в степени $\frac{3}{2}$. Соответственно чтобы увеличить массу в 8 раз, нужно объем увеличить в 8 раз, или ребро увеличить в 2 раза, или площадь грани увеличить в 4 раза.

(Оффтоп)

Если этот кусок элементарной теории меры можно назвать физикой.

"Метод пропорций" - это просто способ сказать другими словами "одна величина (линейно) пропорциональна другой".

[nya]

Vladimirkey в сообщении #1358791 писал(а):

Эти примеры я привел просто для наглядности, чтобы понять, где верно может получиться, а где нет (Но верность следует лишь из того, что мы ЗНАЕМ какая зависимость заранее, поэтому где-то получается не верно (например с площадью и радиусом). А вот, к примеру, в физике, когда мы вовсе не знаем каков вид зависимости между двумя величинами, но имеем при этом 3 значения и нужно найти 4-ую, то используя пропорцию таким образом, можем ли мы точно сказать, верно ли получили ответ?

Очень странный вопрос, если заранее не знаем - то не можем, а если заранее знаем - то можем.

[Someone]

Vladimirkey в сообщении #1358791 писал(а):

Все дело в том, что имея например 3 величины и их значение, то встает вопрос, могу ли я 4-ую найти через пропорцию заведомо не зная зависимость между этими величинами и как узнать, является верным найденное значение?

Ну, если у Вас неизвестно какие величины и неизвестно какая между ними зависимость, то никак. Но на бытовом уровне встречается множество пар величин с прямо пропорциональной зависимостью. Просто надо понимать, какая именно зависимость между заданными величинами.

Vladimirkey в сообщении #1358791 писал(а):

1) за 1 кг сахара заплатили - 2 рубля, сколько мы заплатим за 2 кг сахара? Решаем согласно пропорции, получаем $\frac{1}{x}=\frac{2}{2}$, Находим $x=4$ рубля, но, как узнать, что ответ правильный и здесь можно было воспользоваться данной пропорцией?

Пропорцией можно, но Вы её написали неправильно. Вы же понимаете, что вдвое большее количество сахара стоит вдвое дороже? Если Вы это понимаете, то в чём проблема?

Vladimirkey в сообщении #1358791 писал(а):

2) такой же пример можно привести, например с зависимостью (которая якобы квадратичная (между двумя величинами, как площадь и радиус), но мы не знаем, что она таковой является)

Зависимость задана в условии задачи, и пропорцию надо составлять не для $S$ и $R$, а для $S$ и $R^2$.

Вообще, пропорции — это предмет изучения для младших школьников (9—10—11 лет). Во всяком случае, так было, когда я учился.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Возвращено.

[Vladimirkey]

Someone в сообщении #1358800 писал(а):

Ну, если у Вас неизвестно какие величины и неизвестно какая между ними зависимость, то никак. Но на бытовом уровне встречается множество пар величин с прямо пропорциональной зависимостью. Просто надо понимать, какая именно зависимость между заданными величинами.

Если так, то понятно.

Someone в сообщении #1358800 писал(а):

Пропорцией можно, но Вы её написали неправильно. Вы же понимаете, что вдвое большее количество сахара стоит вдвое дороже? Если Вы это понимаете, то в чём проблема?

Здесь я ошибся, торопился, исправил. Я то понимаю, ниже же написал, что пример привел ради того, чтобы показать, о чем я хотел бы спросить, проблемы собственно нет, хотел узнать, можно ли проверить, верно ли я нашел ту или иную величину согласно пропорции.

Someone в сообщении #1358800 писал(а):

Зависимость задана в условии задачи, и пропорцию надо составлять не для $S$ и $R$, а для $S$ и $R^2$.

Если задана, то понятно, что с ней делать и верно или не верно сразу отпадает, вопрос был в том, если НЕ задана, так сказать вовсе не в курсе о зависимости, а хочешь найти $4$-ую величину. Так сказать, если вовсе не зная что делать с этими тремя величинами (ничего вовсе не имея), то используя пропорцию, на сколько верно можно найти $4$-ую.

Someone в сообщении #1358800 писал(а):

Вообще, пропорции — это предмет изучения для младших школьников (9—10—11 лет). Во всяком случае, так было, когда я учился.

Понимаю, но если глянуть эти темы, то там вовсе не сказано о границе применимости таких вещей.

[mihaild]

Vladimirkey в сообщении #1358851 писал(а):

Так сказать, если вовсе не зная что делать с этими тремя величинами (ничего вовсе не имея), то используя пропорцию, на сколько верно можно найти $4$-ую.

Ни на сколько. Это легко видеть из того что вам вместо одной из величин могут легко дать корень, логарифм или синус от нее.

[Lia]

Vladimirkey
Мне тут объяснили, что я преждевременно Вас вернула. Исправьте формулы, пожалуйста.
Вот такого:

[math]$\frac{1}{2}$[/math][math]$ = $[/math][math]$\frac{2}{x}$[/math]

в Вашем коде быть не должно. Каждая формула должна содержать ровно два знака доллара: один в начале, один в конце. Тег math навесится автоматически.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- все еще неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[wrest]

Vladimirkey
Не зная зависимости, можно крупно ошибиться и попасть впросак. Например, тормозной путь автомобиля пропорционален квадрату скорости, а не скорости. И если вы знаете, что на $50$ км/ч он $40$ метров, то на $100$ км/ч он будет не $80$, а $160$ метров.