Задача "Куб из Кубиков" (комбинаторика, логика)

[Евгений Б.]

Сколькими способами можно составить куб 3x3x3 из 27 игральных кубиков?

Варианты, получающиеся поворотами, вращениями и переворотами считать одинаковыми.

Доп.Вопр.№1 Сколько вариантов, при которых центральный кубик касается с гранями других кубиков, на которых такое же число очков(то есть 1 касается 1, 2-2 и т. п.)

Доп.Вопр.№2 Сколько вариантов, при которых на каждой грани составленного куба располагаются грани кубиков с одинаковым количеством очков(то есть, когда на одной грани все единицы, на другой двойки и т.п.)

[Бодигрим]

В основной постановке, наверное, проще вначале посчитать количество вариантов, считая повороты - различными комбинациями. Тогда для каждого из восьми угловых или боковых кубиков будет 24 варианта, а для центральных - 6. Или я ошибаюсь?

Доп. вопрос 1. Это ограничение означает, что расположения симметричных относительно центра кубиков, стоящие в центрах граней, однозначно связаны.

Доп. вопрос 2. Ясно, что некоторое расположение углового кубика однозначно задает всю поверхность куба.

[Евгений Б.]

Бодигрим писал(а):

В основной постановке, наверное, проще вначале посчитать количество вариантов, считая повороты - различными комбинациями. Тогда для каждого из восьми угловых или боковых кубиков будет 24 варианта, а для центральных - 6. Или я ошибаюсь?

Мне кажется, для центральных тоже 24 (например на одной грани куба можно получить каждое количество очков четырьмя способами, вращать маленькие кубики-то можно)
А для угловых и боковых Я что-то не допонял почему 24(или это промежуточный ответ?)
Плюс ещё центральный кубик(в середине большого куба).

[ddn]

Евгений Б. писал(а):

Сколькими способами можно составить куб 3x3x3 из 27 игральных кубиков?

Варианты, получающиеся поворотами, вращениями и переворотами считать одинаковыми.
Доп.Вопр.№1 Сколько вариантов, при которых центральный кубик касается с гранями других кубиков, на которых такое же число очков(то есть 1 касается 1, 2-2 и т. п.)
Доп.Вопр.№2 Сколько вариантов, при которых на каждой грани составленного куба располагаются грани кубиков с одинаковым количеством очков(то есть, когда на одной грани все единицы, на другой двойки и т.п.)

Размерность пространства: $d\geqslant 1$. Размер куба: $n\geqslant 1$.
Зеркальные отражения куба и кубиков не рассматриваем.


I) Не отождествляем кубики (нумеруем их), отождествляем грани кубика (кубики самотождественны при $2^{d-1}\cdot d!$ самосовмещениях поворотами).
Число способов: $N=\frac{n^d!}{2^{d-1}\cdot d!}$ при $n>1$, и $N=1$ при $n=1$.


II) Не отождествляем кубики (нумеруем их), не отождествляем грани кубика (нумеруем их).
Число способов: $N=(2^{d-1}\cdot d!)^{n^d-1}\cdot n^d!$.

Доп.Вопр.№1: Центральный кубик (и только он!) касается с гранями других кубиков, на которых такое же число очков.
Число способов в $(2d)^{2d}$ раз меньше: $N=\frac{(2^{d-1}\cdot d!)^{n^d-1}}{(2d)^{2d}}\cdot n^d!$.

Доп.Вопр.№2: На каждой грани составленного куба располагаются грани кубиков с одинаковым количеством очков.
Число способов в $(2^{d-1}\cdot d!)^{n^d-(n-2)^d-1}$ раз меньше: $N=(2^{d-1}\cdot d!)^{(n-2)^d}\cdot n^d!$.


III) Отождествляем кубики, отождествляем грани кубика (кубики самотождественны при $2^{d-1}\cdot d!$ самосовмещениях поворотами) и, значит, отождествляем все грани всех кубиков.
Число способов: $N=1$.


IV) Отождествляем кубики, не отождествляем грани кубика (нумеруем их и притом, нумерации граней всех кубиков совмещаемы) и, значит, отождествляем каждую грань каждого кубика с одной и только одной гранью любого кубика.
Это наш случай.
Число способов: $N=(2^{d-1}\cdot d!)^{n^d-1}$.
Для $d=3$ и $n=3$ имеем число способов:
$N=24^{26}=768 231 807 465 763 655 682 670 928 358 014 976\approx 7,7\cdot 10^{35}$

Доп.Вопр.№1: Центральный кубик (и только он!) касается с гранями других кубиков, на которых такое же число очков.
Число способов в $(2d)^{2d}$ раз меньше: $N=\frac{(2^{d-1}\cdot d!)^{n^d-1}}{(2d)^{2d}}$.

Для $d=3$ и $n=3$ имеем число способов в $6^6=46656$ раз меньше:
$N=24^{26}/6^6=16 465 873 788 275 112 647 519 524 356 096\approx 1,6\cdot 10^{31}$

Доп.Вопр.№2: На каждой грани составленного куба располагаются грани кубиков с одинаковым количеством очков.
Число способов в $(2^{d-1}\cdot d!)^{n^d-(n-2)^d-1}$ раз меньше: $N=(2^{d-1}\cdot d!)^{(n-2)^d}$.

Для $d=3$ и $n=3$ имеем число способов в $24^{25}$ раз меньше:
$N=24^1=24$.

[Евгений Б.]

Цитата:

Для $d=3$ и $n=3$ имеем число способов:
$N=24^{26}=768 231 807 465 763 655 682 670 928 358 014 976\approx 7,7\cdot 10^{35}$

Я чего-то никак не разберусь почему $N=24^{26}$ а не $N=24^{27}$ ведь кубиков 27

Рассуждал Я так: так как повороты и вращения расположения не меняют рассмотрим один поворот к наблюдателю. Каждый из 27 кубиков может быть обращён к Нам одной из 6-ти граней 4-мя способами.Вроде как $N=24^{27}$ получается. Или при этом появляются ещё одинаковые варианты?

[ddn]

Евгений Б. писал(а):

Я чего-то никак не разберусь почему $N=24^{26}$ а не $N=24^{27}$ ведь кубиков 27

Рассуждал Я так: так как повороты и вращения расположения не меняют рассмотрим один поворот к наблюдателю. Каждый из 27 кубиков может быть обращён к Нам одной из 6-ти граней 4-мя способами.Вроде как $N=24^{27}$ получается. Или при этом появляются ещё одинаковые варианты?

Куб можно поворачивать в пространстве как целое. И хотя по отношению к наблюдателю это будут разные расположения, но по отношению к пространству - одинаковые. Нужно зафиксировать положение центрального кубика по отношению к наблюдателю, тем самым мы убираем произвол относительно поворотов в пространстве.