Связь координат в разных базисах

[KiKoss123]

Помогите, пожалуйста, разобраться
Допустим есть базис $e_1; e_2 $ и новый базис $e_1'; e_2'$
Например:

e_1' = e_1 + 2e_2 \\ e_2' = -2e_1-e_2\\

Или в матричном виде:

$ \begin{pmatrix} e_1'\\ e_2' \\ \end{pmatrix} = S \begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ -2 & -1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix} $

Тогда старый базис $e_1; e_2$ можно выразить через обратную матрицу $S^{-1}$:

$ \begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix} = S^{-1} \begin{pmatrix} e_1'\\ e_2'\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3& -2/3 \\ 2/3 & 1/3\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1'\\ e_2'\\ \end{pmatrix} $

Как я понял, для координат всегда выполняется равенство:

$ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1' & x_2' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1'\\ e_2'\\ \end{pmatrix} $

В учебнике, на сколько понял, связь новых и старых координат такая:

$ \begin{pmatrix} x_1' & x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} (S^{-1})^T $

Но если взять какие-нибудь конкретные цифры - последняя формула не работает . Уверен, в ней есть ошибка. Пожалуйста, поправьте.

[Xaositect]

KiKoss123 в сообщении #1357980 писал(а):

Пожалуйста, поправьте.

$\begin{pmatrix}x'_1 \\ x'_2\end{pmatrix} = (S^{-1})^T \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}$

[KiKoss123]

Xaositect
Спасибо большое! В учебнике просто не написано было, как представлять координаты: вектор-строка или вектор-столбец

-- 01.12.2018, 19:08 --

Выходит, если матрицу $S^{-1}$ не транспонировать - первоначальная формула работает

[Munin]

$$ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \left(S^{-1} \begin{pmatrix} e_1'\\ e_2'\\ \end{pmatrix}^{\vphantom{0}}\right) = \left(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} S^{-1^{\vphantom{0}}}\right) \begin{pmatrix} e_1'\\ e_2'\\ \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x_1' & x_2' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1'\\ e_2'\\ \end{pmatrix} $$

Логично? После этого выписываем $\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} S^{-1}= \begin{pmatrix} x_1' & x_2' \end{pmatrix}$ и транспонируем:

$$\begin{pmatrix}x'_1 \\ x'_2\end{pmatrix} = (S^{-1})^T \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}$$