Неравенство 25.

[TR63]

При условии $a^3+b^3+c^3=3$

для положительных $(a,b,c)$ докажите или опровергните неравенство:

$$(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4\ge3$$

(Оффтоп)

На соседнем форуме пытаются доказать это неравенство (пока безрезультатно). Я думаю, что оно ложное (контрпример я нашла аналитическим путём, т.е. нашла область, где это неравенство неверно; потом нашла конкретное число для контрпримера и результат проверила на Вольфраме).

[Shadow]

TR63 в сообщении #1357766 писал(а):

т.е. нашла область, где это неравенство неверно;

А я пробую найти хотя бы одну тойку, кроме $(1,1,1)$ для которой данное неравенство верно. Вы случайно знак неравенства не перепутали?

-- 30.11.2018, 19:13 --

Ну да

[TR63]

Shadow в сообщении #1357803 писал(а):

Вы случайно знак неравенства не перепутали

Shadow, спасибо.
Перепутала. Исправляю:

TR63 в сообщении #1357766 писал(а):

При условии $a^3+b^3+c^3=3$

для положительных $(a,b,c)$ докажите неравенство:

$$(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4\le3$$

У меня ложным получилось неравенство:

$$(x^3+y^3+1)^8\ge3^5(x^4+x^4y^4+y^4)^3$$

При $0\le(x;y)\le1$
Исходное свелось к этому неравенству (значит, где-то ошибка). Но это неравенство тоже интересное. Оно верно для многих частных случаев, например $x=y$ и другие. Задача: как найти контрпример к этому неравенству.

[arqady]

TR63 в сообщении #1357766 писал(а):

При условии $a^3+b^3+c^3=3$

для положительных $(a,b,c)$ докажите неравенство:

$$(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4\le3$$

By AM-GM and Schur we obtain:

$$\sum_{cyc}a^4b^4=\sum_{cyc}\left(a^3b^3\cdot ab\right)\leq\sum_{cyc}\left(a^3b^3\cdot\frac{a^3+b^3+1}{3}\right)=\frac{1}{9}\sum_{cyc}\left(3a^6b^3+3a^6c^3+a^3b^3(a^3+b^3+c^3)\right)=$$

$$=\frac{1}{9}\sum_{cyc}(4a^6b^3+4a^6c^3+a^3b^3c^3)\leq\frac{1}{9}(a^3+b^3+c^3)^3=3.$$

[TR63]

arqady, если я правильно поняла, то из такой записи:

$3a^3b^3(a^3+b^3+1)=3a^6b^3+3a^6c^6+a^3b^3(a^3+b^3+c^3)$

следует, что $a^6c^3=b^6a^3$, т.е. $ac=b^2$. Это соответствует в моём неравенстве $xy=1$. Я в исходном неравенстве сделала замену: $a=xb$ и $c=yb$. Оно свелось к неравенству от двух переменных:

TR63 в сообщении #1357829 писал(а):

неравенство:

$$(x^3+y^3+1)^8\ge3^5(x^4+x^4y^4+y^4)^3$$

Ошибки в преобразованиях найти не могу. Моё неравенство (преобразованное из исходного) при $xy=1$ тоже верно. Но для самого неравенства (моего) имеется контрпример. Его, а лучше целую область, предлагаю найти. Это полезно сделать для того, чтобы показать: не для всех перестановочных неравенств достаточно их исследовать при частных случаях. Например, $x=y$.

[arqady]

TR63 в сообщении #1357916 писал(а):

arqady, если я правильно поняла, то из такой записи:

$3a^3b^3(a^3+b^3+1)=3a^6b^3+3a^6c^6+a^3b^3(a^3+b^3+c^3)$

следует, что $a^6c^3=b^6a^3$, т.е. $ac=b^2$.

Если понять ошибку, которую Вы сделали при переписывании, то эта запись без знака цикличекой суммы просто ошибочна.

[TR63]

arqady в сообщении #1357991 писал(а):

Если понять ошибку, которую Вы сделали при переписывании

Да, вижу опечатку. Спасибо. Должно быть так:

arqady в сообщении #1357905 писал(а):

$$\sum_{cyc}\left(a^3b^3\cdot\frac{a^3+b^3+1}{3}\right)=\frac{1}{9}\sum_{cyc}\left(3a^6b^3+3a^6c^3+a^3b^3(a^3+b^3+c^3)\right)=$$

Я не поняла этот переход, и подумала, что это возможно только при $ac=b^2$. Поэтому спросила: верно ли я это поняла. Или запись верна при любых $(a;b;c)$ из области определения? Если "да", то вопросов больше нет и можно переходить ко второй задаче.

[TR63]

В своём "контрпримере" нашла опечатку. Перепроверила. Получается в той точке верное неравенство (моё). Моё неравенство получено из исходного неравенства, которое, как доказал arqady, верно.
arqady, спасибо.

[TR63]

Возник вопрос: как доказать моё неравенство (использование Вольфрама допускается)

TR63 в сообщении #1357829 писал(а):

неравенство:

$$(x^3+y^3+1)^8\ge3^5(x^4+x^4y^4+y^4)^3$$

При $0\le(x\le y)\le1$

,

не опираясь на уже доказанное исходное неравенство. (Ведь, это же надо догадаться сделать обратное преобразование функции от двух переменных к функции от трёх переменных с условием, и к ней применить АМ-ГМ и Шура.)
У меня Вольфрам в лоб такое неравенство не берёт (возможно, я неправильно делаю запрос). Если не в лоб, то всё сходится(?):

Поясню используемую мной идею.

Неравенство

$$f(x;y)=(x^3+y^3+1)^8-3^5(x^4+x^4y^4+y^4)^3\ge0\eqno(1)$$

При $x=y$ будет иметь вид

$$(y^3+y^3+1)^8-243(y^4+y^4y^4+y^4)^3\ge0\eqno(2)$$

И верно в области $-0.45865<x\le y\le1$.

Тогда

$$(-y^3-y^3+1)^8-243(y^4+y^4y^4+y^4)^3\ge0$$

верно в области: $-1\le y\le0.4586$.

Тогда моё неравенство будет ослабленным по отношению к этому неравенству и верным в области $0\le x\le y\le0.45865$. Останется исследовать область вне этой. Перейдём к доказательству моего неравенства $(1)$ при $x=y$ в области($(x;y)>0.4586$), усилив его

$$(0.4586^3+y^3+1)^8\ge243(2y^4+y^8)^3$$

Получаем область, в которой это неравенство верно: $-0.51\le y<0.6394$. Ослабляем и получаем неравенство $(1)$, верное в области $0.4586\le(x\le y)<0.6394$. Остаётся исследовать область вне этой. Процесс продолжаем. Т.е. рассматриваем $x=y$. Усиливаем левую часть$(2)$, полагая первый из игреков равным $y=0.6394$ . Область расширяется. Остаётся исследовать вне этой области. Получается монотонная ограниченная последовательность (справа). Имеет предел. Он равен единице.

[TR63]

Используя идею, предложенную мной выше, можно решать более общую задачу.

Задача 1.

При каких натуральных взаимно простых $(l;q)>0$, {l-нечётное; q-чётное} и $0<(x=y)\le1$ (рассматриваем пока упрощённый вариант моего неравенства) верно неравенство:

$$(y^l+y^l+1)^8-243(y^q+y^qy^q+y^q)^3\ge0$$

Замечание.

Для ограниченного числа пар $(l;q)$ задача решается перебором на Вольфраме. Поэтому в качестве ответа следует предлагать неограниченные серии либо как можно более длинные.

Мой ответ в оффтопе:

(Оффтоп)

$\frac q l=\frac{4k+2m}{2k+2m-1}\ge\frac4 3$ $(k\neq m)$-целые положительные числа. Существует ли контрпример к моей серии?