Действия групп

[Nickspa]

Вопрос по Винбергу "Курс алгебры".

В параграфе "Действия" (Гл.10 пар. 3) доказывается теорема 1:
Отображение $f:Gx\to G/G_x, y\to G_x^y=\left\lbrace g\in G: gx=y\right\rbrace$ является изоморфизмом действий.
Далее утверждается, что $G_{gx}=gG_xg^{-1}$.

И далее то, что мне не понятно.

"Так как в теореме 1 в качестве точки $x$ можно взять любую точку орбиты, то отсюда следует, что для любой подгруппы $H\subset G$ и любого $g\in G$ действия группы $G$ на $G/H$ и на $G/gHg^{-1}$ изоморфны."

Не могу понять как применить здесь теорему 1. Может кто помочь?

[vpb]

Рассмотрим действие $G$ на $\Omega=G/H$. Возьмем две точки из $\Omega$ : одна --- это $p=H$, т.е. смежный класс $1\cdot H$, а вторая $q=gH$. Вопрос: что будет стабилизатором точки $p$ ? а точки $q$ ? Почему ? (и лучше не со ссылкой на теорему из Винберга, а непосредственно доказать).

[Nickspa]

Как раз на этом вопросе я и застрял.
Единственное, я во избежание путаницы переименую $q=uH$.
$G_H=\left\lbrace g\in G:g(1)H=H\right\rbrace=\left\lbrace g\in G:g(1)\in H\right\rbrace$, то есть те элементы, которые не выводят единицу из $H$.
$G_{uH}=\left\lbrace g\in G:g(u)H=uH\right\rbrace=\left\lbrace g\in G:g(u)\in uH\right\rbrace$.
Вроде так, но что с этим делать?

[vpb]

А что такое $g(u)$ ? Группа $G$ действует на множестве $G/H$. Куда элемент $x\in G$ отправляет смежный класс $yH$ ?

-- 30.11.2018, 17:36 --

Nickspa в сообщении #1357772 писал(а):

то есть те элементы, которые не выводят единицу из

А какие элементы не выводят единицу из $H$ ?

[Nickspa]

Понял что мне мешало.
Получается следующее:

vpb в сообщении #1357755 писал(а):

Возьмем две точки из $\Omega$ : одна --- это $p=H$, т.е. смежный класс $1\cdot H$, а вторая $q=gH$

$G_p=\left\lbrace r\in G:rH=H\right\rbrace=H$.
Далее.
$ (rg)H=gH$$\Rightarrow rgh_1=gh_2\Rightarrow rg=gh\Rightarrow r=ghg^{-1}$ и
$G_q=\left\lbrace r\in G:r=ghg^{-1}\right\rbrace=gHg^{-1}$.
Получается $Gq=G/H, G_q=gHg^{-1}$ и теорема 1 строит изоморфизм.
Верно?

[vpb]

Верно. Точнее, не знаю как там с формальным использованием этой теоремы, главное, что Вы поняли, что стабилизаторы точек в одной орбите сопряжены.

[Nickspa]

Но действие здесь транзитивно, верно?

[vpb]

Верно. Вообще, действие на орбите транзитивно, на то она и орбита.