Об решении системы нелинейных уравнений

[misha.physics]

Здравствуйте.
Подобных случаев в своей практике я ещё не встречал. Хочу узнать, правильно ли я понимаю ситуацию, я не полностью уверен.

У меня есть система из двух нелинейных уравнений для двух неизвестных величин (пусть это $x$ и $y$). Мне нужно её решить. Я рассматриваю два случая:
1) $x\ne0$
2) $x=0$
Если $x\ne0$, то я могу на него умножить одно из уравнений системы и найти $y$, но тогда у меня получается, что $y=0$, а из этого следует, что $x=0$. Получили противоречие, значит наше предположение о том, что $x\ne0$ ложное.

Остается случай, что $x=0$, но одно из уравнений имеет вид $\frac{y}{x}+x=0$. Понятно, что $y$ не может быть ни больше ни меньше нуля. Но быть нулем $y$ тоже не может, так как "отношение нулей" не в пределе не имеет смысла, потому что может получится любое конечное число, да? У нас справа точно ноль. Но для того чтобы его получить, нужно чтобы $y$ стремился к нулю быстрее чем $x$. Но мы не говорили о стремлении $x$ и $y$ к нулю, мы сказали, что они точно равны нулю. Следовательно, снова получили противоречие.

Вопрос: можно ли на основании этих противоречий (для каждого из двух рассматриваемых случаев) сказать, что $x$ не равен никакому конечному действительному числу? Следовательно, наша система не имеет решения (в смысле несуществования такого набора $(x, y)$, который будучи подставлен в исходную систему превращал бы её в тождество? И есть ли у меня где-то здесь ошибки в рассуждениях? И можно ли говорить, что решением системы может быть что-то типа: $x=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\varepsilon$, $y=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\varepsilon^2$?

-- 30 ноя 2018, 17:46 --

misha.physics в сообщении #1357778 писал(а):

И можно ли говорить, что решением системы может быть что-то типа: $x=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\varepsilon$, $y=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\varepsilon^2$?

Похоже я поспешил, ответ нет, да? Ведь справа у нас точно ноль, а слева нет.

[thething]

Вы бы саму систему написали, чего руками-то махать?

[misha.physics]

thething, согласен. Чтобы не писать всех постоянных я их обозначу одной буквой.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a\frac{y}{x^{3/2}}+bx^{-\frac{3s-1}{2s-1}}=0\\ \frac{3a}{2}\frac{y}{x^{5/2}}+\frac{3s-1}{2s-1}bx^{-\frac{5s-2}{2s-1}}=0 \\ \end{array} \right.$$

$a$, $b$ - постоянные, $s$-параметр.

Второе уравнение это фактически производная от первого по $x$. Это система уравнений для нахождения критических параметров --- объема ($x$) и температуры ($y$). В принципе, из уравнений видно, что посколько $x$ и $y$ должны быть положительными, то решения нет. Но меня здесь интересовал чисто математический аспект решения данной системы, не привязываясь к физическим соображениям.

Эти уравнения это соответственно 1-я и 2-я производные от давления (функции состояния). Есть, конечно, вероятность, что оно у меня неправильное, хотя я его несколько раз проверял. Знаки вроде правильные.

[thething]

misha.physics в сообщении #1357791 писал(а):

Но меня здесь интересовал чисто математический аспект решения данной системы

Так и чисто в математическом аспекте сразу видно ОДЗ: $x>0$, т.е. случай $x=0$ вообще не нужно рассматривать. А вот почему $y$ должен быть положителен, из системы не видно. Ну, либо у Вас есть ещё какое-то условие на коэффициенты $a$ и $b$.

[misha.physics]

thething, коэффициенты $a$ и $b$ у меня положительны.
Да, действительно $x\ne0$, потому что будет деление на ноль, и отрицательным $x$ быть не может потому что квадратный корень из отрицательной величины не даст действительный корень (пусть мы пока ищем только действительное решение). Значит $x$ может быть только $x>0$. Тогда я второе уравнение могу умножить на $\frac{2}{3}x$ и получу, что $x=0$. Но это не входит в ОДЗ.

А если я второе уравнение умножу на $\frac{2s-1}{3s-1}x$, то получу, что $y=0$. А если $y=0$, то из уравнений получаем, что $x=0$, что тоже не входит в ОДЗ.

Я просто не уверен, как имея все это, сказать, что решения не существует. Достаточно ли просто сказать, что система не имеет решения потому что согласно ОДЗ для вещественных $x$ мы получаем $x>0$, но в ходе решения этой системы получается $x=0$. Понятно, что это не решение. Это свидетельствует об отсутствии действительных корней системы, но как это сформулировать строго и кратко, вот в чем вопрос.

И я так понимаю, что комплексных корней тоже не будет, ведь если мы забудем об ОДЗ, то все выкладки будут справедливы и для комплексных чисел, правда? Одно из уравнений мы можем попытаться удовлетворить, но систему обернуть в тождество не выйдет.

[grizzly]

misha.physics в сообщении #1357836 писал(а):

но как это сформулировать строго и кратко, вот в чем вопрос.

Вы правильно рассуждаете, но формулируете это не совсем прозрачно.
Вот это:

misha.physics в сообщении #1357836 писал(а):

Значит $x$ может быть только $x>0$. Тогда я второе уравнение могу умножить на $\frac{2}{3}x$ и получу, что $x=0$.

обычно формулируют так:

Цитата:

Домножив второе уравнение на $\frac{2}{3}x$ и вычтя его из первого, получим $x=0$. Это $x$ не входит в ОДЗ системы, следовательно, система не имеет решений.

Это если кратко. Если от Вас требуется подробное решение, то указанные действия нужно проделать и записать.

misha.physics в сообщении #1357836 писал(а):

комплексных корней тоже не будет, ведь если мы забудем об ОДЗ

Зачем забудем? Комплексные числа тоже нельзя делить на 0, поэтому для комплексных чисел будет справедливо такое же рассуждение.

[misha.physics]

grizzly, спасибо.

grizzly в сообщении #1357865 писал(а):

Зачем забудем? Комплексные числа тоже нельзя делить на 0, поэтому для комплексных чисел будет справедливо такое же рассуждение.

Да, там просто вместо $x>0$ будет только $x\ne0$.