И опять про основы КМ

[specialist]

Как всегда, меня интересуют глупые вопросы в КМ.
Как я понял из 23 страницы книги Р.Пантел Г.Путхов Основы квантовой электроники:
$\langle R\rangle=\operatorname{Sp}(\rho R)$
При этом Пантел говорит:

(Оффтоп)

При этом Пантел говорит: ...Поскольку, используя это выражение, можно получить среднее значение любой наблюдаемой величины, то оператор плотности $\rho$ содержит существенную с точки зрения физики информацию....

недолго думая я, пришел к выводу, что среднее от оператора и есть наблюдаемая величина. Ну и сразу же решил попробовать шпур на вкус, основываясь на чистом состоянии. И относясь к кет вектору как к стобцу, а к бра вектору как строке, вывел чему же равен среднее от некого квадратного оператора:
$ \langle R\rangle=\operatorname{Sp}(\rho R)= \sum \limits_{k=1}^\infty (\sum \limits_{j=1}^\infty (\sideset{_1}{_k}\psi \sideset{_1}{_j}\psi - \sideset{_1}{_k}\psi i \sideset{_2}{_j}\psi + i \sideset{_2}{_k}\psi \sideset{_1}{_j}\psi + \sideset{_2}{_k}\psi \sideset{_2}{_j}\psi )R_{jk}) $ где $\sideset{_1}{_x}\psi $ - вещественная часть компоненты номер "x" волновой функции, а $\sideset{_2}{_x}\psi $ мнимая часть компоненты номер "x" волновой функции. То есть компонента выглядит так: $(\sideset{_1}{_x}\psi +i\sideset{_2}{_x}\psi) $
Так как переписывать вывод очень долго, я прикреплю картинку c выводом,

(Оффтоп)

Меня смущает, что при комплексной волновой функции, получается комплексное среднее значение оператора, хотя как мне всегда казалось, "наблюдаемые" всегда вещественны. Скорее всего, я все как всегда учебник понял неверно, что я сделал неправильно?

[warlock66613]

specialist, вы почти всё сделали правильно. Теперь потребуйте вещественности результата, и получите из этого некоторое условие для $R$. Только операторы, удовлетворяющие этому условию, могут соответствовать вещественной наблюдаемой.

[Munin]

specialist в сообщении #1357383 писал(а):

недолго думая я, пришел к выводу, что среднее от оператора и есть наблюдаемая величина.

Обозначение $\langle R\rangle$ - это не среднее от оператора. Это среднее от наблюдаемой величины. Важно, что среднее. Реально наблюдаться могут разные значения. (Если состояние - не есть собственное состояние этой наблюдаемой.)

А в других местах $R$ - это оператор, конечно же. (Операторы тоже можно усреднять, в других ситуациях, поэтому важно здесь не произносить неправильного словосочетания.)

[specialist]

Вспомнив про эрмитовость, сразу решил попробовать,
$ \langle R\rangle=\operatorname{Sp}(\rho R)= 2\sum \limits_{k=1}^\infty (\sum \limits_{j=1}^\infty (\sideset{_1}{_{jk}}R \sideset{_1}{_k}\psi \sideset{_1}{_j}\psi + \sideset{_1}{_{jk}}R \sideset{_2}{_k}\psi \sideset{_2}{_j}\psi - \sideset{_2}{_{jk}}R \sideset{_2}{_k}\psi \sideset{_1}{_j}\psi - \sideset{_2}{_{jk}}R \sideset{_1}{_k}\psi \sideset{_2}{_j}\psi ) ) $, где $\sideset{_1}{_{xy}}R $ - вещественная часть компоненты номер "xy" волновой функции, а $ \sideset{_2}{_{xy}}R$ мнимая часть компоненты номер "xy" волновой функции. То есть компонента "xy" выглядит так: $(\sideset{_1}{_{xy}}R +i\sideset{_2}{_{xy}}R) $, а компонента "yx" $(\sideset{_1}{_{yx}}R -i\sideset{_2}{_{yx}}R) $, причем $\sideset{_1}{_{xy}}R = \sideset{_1}{_{yx}}R$ и $ \sideset{_2}{_{xy}}R = \sideset{_2}{_{yx}}R $.
Эрмитовость зарешала
Скажите, а вот это среднее от наблюдаемой, это то самое что я могу линейкой, часами и вольтметром померить, или сие все еще в Гильбертовом мире живет?

[Munin]

specialist в сообщении #1357488 писал(а):

Скажите, а вот это среднее от наблюдаемой, это то самое что я могу линейкой, часами и вольтметром померить, или сие все еще в Гильбертовом мире живет?

Прибором (для каждой наблюдаемой свой прибор, причём построить его не всегда тривиально, и не всегда решённая задача вообще - скорее наоборот, для произвольно придуманной наблюдаемой придумать прибор будет отдельной новой сложной задачей).

Но важнее другое. Измерив её один раз (и при этом разрушив состояние), вы получите какое-то случайное значение из спектра. Чтобы получить среднее, надо провести много измерений во многих идентичных опытах, и их между собой усреднить. Что реально физики и делают: например, измеряют много распадов или столкновений частиц, в ускорителях или на других установках, набирают большую статистику, и когда получают сигнал выше шума, публикуют результат. Все свойства атомов и субатомных систем получены именно так.

[specialist]

У меня еще несколько вопросов:
Раз эта величина мерится прибором и набирается статистика,
то, как из матрицы плотности и оператора наблюдаемой величины выудить Функцию распределения, Мат ожидание, Дисперсию. Где об этом прочесть?

ну и еще, вот мне ясно как применять интеграл по Риману, чтоб от сумм к интегралу перейти, но в данном случае, мне непонятно. Как правильно переходить от сумм к несобственным интегралам
$\langle R\rangle=\operatorname{Sp}(\rho R)= 2\sum \limits_{k=1}^\infty (\sum \limits_{j=1}^\infty (\sideset{_1}{_{jk}}R \sideset{_1}{_k}\psi \sideset{_1}{_j}\psi + \sideset{_1}{_{jk}}R \sideset{_2}{_k}\psi \sideset{_2}{_j}\psi - \sideset{_2}{_{jk}}R \sideset{_2}{_k}\psi \sideset{_1}{_j}\psi - \sideset{_2}{_{jk}}R \sideset{_1}{_k}\psi \sideset{_2}{_j}\psi ) ) $

[Munin]

specialist в сообщении #1357538 писал(а):

Раз эта величина мерится прибором и набирается статистика,
то, как из матрицы плотности и оператора наблюдаемой величины выудить Функцию распределения, Мат ожидание, Дисперсию. Где об этом прочесть?

Это в начале любого учебника по КМ написано, например, ЛЛ-3 главы 1-2.

[specialist]

Munin в сообщении #1357542 писал(а):

Это в начале любого учебника по КМ написано, например, ЛЛ-3 главы 1-2?

Что то я аж до третьей главы досмотрел, и слово Дисперсия, Математическое ожидание, Функция распределения(вот тут было чтото похожее про диагональные элементы) или Корреляционной функции не встретил, обсуждался спектр, у того же Мессиа, тоже нету, и в Давыдове нет. В Боме, нечто похожее есть, но оно очень не полное. А вот в Блохинцеве я нашел дисперсию (правда в качестве сноски, и получить формулу самой дисперсии скорее у меня не получится). Скорее всего в ЛЛ все это есть, но выражено иносказательно. Можете тыкнуть меня в такую книгу, чтоб обсуждались именно эти понятия, ведь формулы скорее всего просты.

[Munin]

specialist в сообщении #1357556 писал(а):

Что то я аж до третьей главы досмотрел, и слово Дисперсия, Математическое ожидание, Функция распределения(вот тут было чтото похожее про диагональные элементы) или Корреляционной функции не встретил

Потому что ЛЛ-3 - это не книжка по матстатистике. Достаточно того, что плотность распределения вероятности может быть получена как диагональные элементы матрицы плотности (часто говорят оператора плотности), взятого в представлении нужной наблюдаемой величины (что-то типа $\rho(f,f')$ в обозначениях ЛЛ). А дальше вы уже сами можете насчитать из неё дисперсии, с. к. о., моменты, корреляционные функции - всё, что пожелаете, - по стандартным математическим формулам.

[specialist]

Спасибо большое