Как решить дифференциальное уравнение

[blueboar2]

Преподаватель задал дифференциальное уравнение $y''+y(x+1)=1$. Ответ должен быть более-менее простой. Судя по тому, что это обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, нужно придумать одно из фундаментальных решений однородного уравнения $y''+y(x+1)=0$, а затем уже можно найти второе, и перейти к неоднородному уравнению. Только вот какое это "фундаментальное" решение? Я пробовал $Ax^2+Bx+C$, синусы, косинусы, экспоненты, $\frac{1}{Ax+B}$ - не подходит. Вольфрамальфа выдает трехэтажное решение с кучей специальных функций.

[thething]

Сомнительно, что получится просто. В Филиппове есть задача $y''-xy=0$, похожая на Вашу (даже проще смотрится), но при этом требуется лишь исследовать асимптотику решений на беконечности, используя преобразование Лиувилля. Может, Ваша задача из той же серии?

[blueboar2]

Ну не знаю, в задании написано "решить дифференциальное уравнение".

[Aritaborian]

blueboar2 в сообщении #1357078 писал(а):

Вольфрамальфа выдает трехэтажное решение с кучей специальных функций.

Альфу в этом случае глючит, она неверно интерпретирует входные данные; присмотритесь.

[blueboar2]

Aritaborian в сообщении #1357081 писал(а):

blueboar2 в сообщении #1357078 писал(а):

Вольфрамальфа выдает трехэтажное решение с кучей специальных функций.

Альфу в этом случае глючит, она неверно интерпретирует входные данные; присмотритесь.

Куда именно присмотреться? Пишу в ней y''+y(x+1)=1, и смотрю на очень сложное решение.

[Aritaborian]

Вот именно. Вы смотрите на решение, а нужно посмотреть на всё сверху донизу. И тогда вы увидите, что именно решает Альфа. Не то, что вы имели в виду.

[thething]

Ваше однородное уравнение сводится к уравнению Эйри, так что простых решений не ищите.

[blueboar2]

Aritaborian в сообщении #1357084 писал(а):

Вот именно. Вы смотрите на решение, а нужно посмотреть на всё сверху донизу. И тогда вы увидите, что именно решает Альфа. Не то, что вы имели в виду.

Хорошо. Смотрю сверху, донизу. Сначала идет "линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка", потом alternate forms, которые почти дословно повторяют исходное уравнение, потом это самое решение с кучей функций (Эйри, Гамма и Гипергеометрических), изображение частных решений, похожих на затухающую синусоиду, и возможный лагранжиан. Что мне с этим делать?

-- 27.11.2018, 16:23 --

thething в сообщении #1357085 писал(а):

Ваше однородное уравнение сводится к уравнению Эйри, так что простых решений не ищите.

Ну я так и подумал, но уравнение Эйри явно не соответствует по сложности остальным 11 заданиям контрольной. Там были обычные дифуры первого и второго порядка с постоянными коэффициентами.

[Singular]

thething в сообщении #1357085 писал(а):

Ваше однородное уравнение сводится к уравнению Эйри, так что простых решений не ищите.

А решением неоднородного уравнения будет соответствующая функция Скорера.

blueboar2 в сообщении #1357086 писал(а):

Ну я так и подумал, но уравнение Эйри явно не соответствует по сложности остальным 11 заданиям контрольной. Там были обычные дифуры первого и второго порядка с постоянными коэффициентами.

Не исключена ошибка (несознательная?) в исходном задании контрольной.

blueboar2 в сообщении #1357078 писал(а):

Преподаватель задал дифференциальное уравнение $y''+y(x+1)=1$. Ответ должен быть более-менее простой.

А, вообще, правильно ли понимаем, что это уравнение с непостоянным коэффициентом $\dfrac{d^2y(x)}{dx^2}+\left(x+1\right)y(x)=1$? Или это уравнение с запаздывающим аргументом $\dfrac{d^2y(x)}{dx^2}+y\left(x+1\right)=1$?

[blueboar2]

Цитата:

А, вообще, правильно ли понимаем, что это уравнение с непостоянным коэффициентом $\dfrac{d^2y(x)}{dx^2}+\left(x+1\right)y(x)=1$? Или это уравнение с запаздывающим аргументом $\dfrac{d^2y(x)}{dx^2}+y\left(x+1\right)=1$?

Блин, точно. Может это именно вторая производная, плюс сама функция, если в нее подставить "x+1". Хм. А как решаются такие уравнения? Я их никогда не встречал ранее.

[Singular]

(Еф. 5, 31-32)

Тайна сия велика

[blueboar2]

Ну действительно тайна. Я нашел только приближенные способы решения, и способ подстановки $y=e^{\lambda\cdot{x}}$, с целью найти периодические решения, однако в моем случае это ни к чему не привело.

[thething]

Если это давали на контрольной, то предполагается, что нечто подобное решалось на практических занятиях. Но тогда Вы должны были сразу понять, что это уравнение с запаздывающим аргументом. В ином случае, скорее всего, опечатка в задании и это должно быть всё-таки решаемое стандартными способами уравнение с переменными коэффициентами.

[blueboar2]

В общем, преподаватель сказал искать решение в виде бесконечного ряда Маклорена, и определить необходимые коэффициенты. Скучно.

[Singular]

Без начальных условий?

(Оффтоп)

Можно будет проверить сходимость ряда к точному решению. Если исходное уравнение всё-таки уравнение с непостоянным коэффициентом $\left(x+1\right)$, то функции $y_1\left(x\right)=\pi\operatorname{Hi}\left(-\left(x+1\right)\right)$ и $y_2\left(x\right)=-\pi\operatorname{Gi}\left(-\left(x+1\right)\right)$ являются независимыми решениями Вашего исходного неоднородного уравнения. В Wolfram легко строятся их графики.