предел неопределенность 1 в бесконечности

[Ivan 09]

$\lim_{x\to 0}(\frac{1+x \etc 2^x}{1+x \etc 3^x})^\frac{1}{x^2}&$
Здравствуйте. не могу понять как решать.
исписал много листов уже, все попытки не увенчались успехом.
Моей последней попыткой самостоятельного решения было привести к виду.
с $x\etc 6^x$
получилось выражение
$\lim_{x\to 0}(\frac{x \etc (6^x)+3^x}{x \etc (6^x)+2^x})^\frac{1}{x^2}&$
но как выделить единицу?
так же подумывал разбить один предел к нескольким

[thething]

Сводите ко второму замечательному, выделяя в скобке единицу, а остальное забрасывая в степень.

[Ivan 09]

thething
спасибо за ответ, ну я это и так понимаю.
проблема как раз как именно выделить единицу?
не могу избавиться и как-то скомпоновать вместе $2^x ;3^x$

[thething]

Всмысле, как выделить единицу? Прибавьте и вычтите в числителе кое-что так, чтобы единица выделилась.

[Ivan 09]

thething
я немного ушел в сторону , сейчас глядя на пример понимаю что вроде надо прибавить и отнять $2^x -3^x$(это на первый взгляд) буду пробовать.
я когда пробовал раньше немного полез в дебри.
спасибо

[thething]

Ivan 09 в сообщении #1357341 писал(а):

вроде надо прибавить и отнять $2^x -3^x$

Нет, всё проще. Единица в числителе уже есть, осталось прибавить $x3^x$ ну и...

[teleglaz]

Ivan 09 в сообщении #1357337 писал(а):

проблема как раз как именно выделить единицу?

Чтобы не подбирать слагаемые, бывает удобно "в лоб" записать $\frac{1+x \etc 2^x}{1+x \etc 3^x}-1+1$ и получить $1+$"что-то" и потом уже с этим "что-то" работать.

[provincialka]

Я советую студентам сделать преобразование в общем виде, и потом его использовать как готовое:

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)^{g(x)}=\left(1^\infty\right)=\lim\limits_{x\to a}(1+f(x)-1)^{\frac{g(x)(f(x)-1)}{f(x)-1}}=e^A$$

где

$$A=\lim\limits_{x\to a}{(f(x)-1)g(x)}$$

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1357446 писал(а):

Я советую студентам сделать преобразование в общем виде, и потом его использовать как готовое:

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)^{g(x)}=\left(1^\infty\right)=\lim\limits_{x\to a}(1+f(x)-1)^{\frac{g(x)(f(x)-1)}{f(x)-1}}=e^A$$

где

$$A=\lim\limits_{x\to a}{(f(x)-1)g(x)}$$

Интересно сколько мусора должно накопиться в голове у студентов к 5 курсу, если каждый преподаватель вместо простых и ясных фундаментальных идей будет снабжать студента подобными рецептами

[provincialka]

pogulyat_vyshel
Я на занятии сразу говорю: цель изучения пределов (как я это понимаю) -- освоить идеи эквивалентности и асимптотического равенства. Все остальное можно вписать в табличку и на контрольной пользоваться. А потом благополучно забыть.

Можно подумать, сами эти неопределенности $1^\infty$ прям жизненно необходимы... На крайний случай всегда есть Лопиталь!

[Nemiroff]

Не надо ничего выделять, использовать замечательные пределы, или применять метод Тараса Бульбы. Просто разложите функцию по Тейлору.

[Ivan 09]

Спасибо всем за ответы, решил вчера . все получилось.
мне понравился пример порешал бы подобные...