замена переменной в дифуре

[Kovriga123]

показать, что при замене переменной:

$z=\int\limits_{a}^{x}\left( \frac{r(t)}{p(t)} \right)^{1/2}dt$

верно равентсво:

$ \frac{1}{r(x)} \left( \frac{d}{dx} \left( p(x)\frac{dy}{dx}\right) + q(x)y \right) = \frac{d^2y}{dz^2} + \left(\frac{1}{2s}\frac{ds}{dz}\right)\frac{dy}{dz} + \frac{q}{r}y $

где $s = rp$

беру две производные:

$ \frac{dz}{dx} = \left( \frac {r(x)} {p(x)} \right)^{1/2} $

$ \frac{d^2z}{dx^2} = \frac {p(x)r'(x) - r(x)p'(x)} {2p(x)^2\frac{dz}{dx}} $

раскрываю производную слева:

$ \frac{1}{r(x)} \left( p'(x)\frac{dy}{dx} + p(x)\frac{d^2y}{dx^2} + q(x)y \right) $

что дальше? как делать подстановку? спрашиваю, потому что опыта в этом ноль

заранее благодарю!!!

[Kovriga123]

пробую в лоб по шагам

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dx}\right)\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}\right)\frac{dz}{dx} = \left( \frac{d^2y}{dz^2}\frac{dz}{dx}\right)\frac{dz}{dx} = \frac{d^2y}{dz^2}\left(\frac{dz}{dx}\right)^2 $

$\frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dz}\frac{dz}{dx}$

это правильно?

[mihiv]

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx}\right)=\frac {d}{dx}\left (\frac {dy}{dz}\frac {dz}{dx}\left )=\dots $

[Kovriga123]

о да!

$... = \frac{d^2y}{dz^2} \frac{dz}{dx} \frac{dz}{dx} + \frac{dy}{dz} \frac{d^2z}{dx^2} = ... $

не могу только понять почему я думаю не верно:

1) (y) есть сложная ф-ия от (z) и (x)
$y=y\left( z\left( x \right) \right)$

2) раз так, то ее производная
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx}$

3) по аналагии с самой функцией, считаю первую производную тоже сложной функцией и поэтому
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dz} \left( \frac{dy}{dx} \right) \frac{dz}{dx} $

подобная аналогия ведет к ошибке, но вот почему, я не могу понять?

[пианист]

Вы $\frac{dz}{dx}$ по $z$ не дифференцируете, а оно вообще-то не константа.

[Kovriga123]

но (z) же явная функция от (x) значит

$\frac{d}{dz} \left( \frac {dz}{dx} \right) = 0$

что-то я пропускаю мимо?

[пианист]

Вы, видимо, подразумеваете, что $\frac{dz}{dx}$ есть функция двух переменных, $x$ и $z$, а $\frac{d}{dz}$ есть частная производная по $z$.
Фактически же это функция одной переменной, $x$, которая заменена (подстановкой) на $z$.
Так что ее тоже надо дифференцировать, формулу Вам подсказал уважаемый mihiv.

[Kovriga123]

хорошо, (r) и (p) тоже будут сложные функции от (z)

$ \frac{d}{dz} \left( \frac{dz}{dx} \right) = \frac{d}{dz} \left( \frac{r(x)}{p(x)} \right)^{1/2} = \frac{d}{dz} \left( \frac{r(z(x))}{p(z(x))} \right)^{1/2} = \frac{d}{dz} \left( \frac{r(z)}{p(z)} \right)^{1/2} \neq 0 $

и это как бы вторая прозводная $\frac{d^2z}{dx^2}$ только здесь дифференцирование по (z), а не по (x)

но с другой стороны есть формула от mihiv в результате которой вся задача получается
и следовательно в результате этого диффиринцирования я должен получить

$ \frac{d}{dz} \left( \frac{dz}{dx} \right) = \frac{d^2z}{dx^2} $

я не могу увязать эти два случая, вроде как понимаю, но не совсем

[пианист]

$\frac{d}{dz}(\frac{dz}{dx}) = \frac{d^2z}{dx^2}\frac{dx}{dz}$

[Kovriga123]

спасибо за дебаг мозга!