Интеграл вида F(t - x)dF(x)

[Nicolai]

Есть интеграл такого вида:
$F_{n}(t)=\int\limits_0^t {F_{n-1}}(t-\tau)dF(\tau)$

Интегрирование функции, по сути, производится по функции. Не понимаю, что значит такая запись математически. Идейно, предполагаю, что в самой функции $F$ производится суммирование всех τ (промежутков времени), содержащихся в промежутке от $0$ до $t$, т.е.: $\int\limits_0^t F(t-\tau)dF(\tau) = F(t-\sum\limits_{i=1}^n\tau)$, где n — есть количество временных промежутков $\tau$ ,находящихся в рассматриваемом временном интервале от $0$ до $t$.

Не рассматриваю индексы под функцией. Пока хочу понять, что это значит. Если бы была запись вида: $F(t)=\int\limits_0^t {F}(t-\tau)d\tau$, то это означало бы: $F(t)=\int\limits_0^t F(t,\tau)d\tau$, т.е. есть функция, зависящая от двух переменных по одной из которых берется интеграл. Однако здесь, что-то другое.

Индексы под функцией. Функция задана рекурентно, насколько я понял и $F_{1}=F(t)$. Т.е. первое значение известно. Остальные выражаются через предыдущие.

Уважаемые форумчане,если кто-нибудь встречался с подобной записью, прошу, помогите. Очень хочу разобраться. С уважением.

[mihaild]

Обозначается так интеграл Римана-Стилтьеса. Идейно - в интегральных суммах вместо длины отрезка берется разность значений функции под дифференциалом на этом отрезке.
Запись

Nicolai в сообщении #1357022 писал(а):

$F_{n}(t)=\int\limits_0^t {F_{n-1}}(t-\tau)dF(\tau)$

выражает $F_1, F_2, \ldots$ через $F$ и $F_0$ (если считать, что $n$ начинается с нуля, иначе все индексы тут нужно увеличить на $1$). То, что $F_0 = F$ ниоткуда не следует.

Откуда вы взяли это задание?

[jekyl]

Если предположить, что $F_0=F$ и $F(x)=0$ при $x\leqslant0$, то это свёртка, т. е. $F_n=F_{n-1}\ast F$. Я так понимаю, что $F$, $F_n$ функции распределения. А может и нет

[Евгений Машеров]

Сильно подозреваю, что это запись свёртки распределений. И имеется в виду под $dF$ плотность распределения F, $dF=\frac {dF} {dt}dt$

[Nicolai]

jekyl,Евгений, да, вы правы насчет распределений. Я попытаюсь сформулировать, все-таки, полную постановку задачи. Пока не могу понять до конца. mihaild, благодарю за ваш ответ, отвечу и на ваш вопрос ниже.

Рассматривается некая восстанавливаемая система. $F(t)=P(\tau_{v}<t)$ и $G(t)=P(\tau_{r}<t)$ - законы распределения времени безотказной работы и времени восстановления системы. Необходимо определить вероятность того, что до момента времени t произошло ровно $n$ восстановлений системы.

Схема работы системы:


$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\tau_{vi}=\tau_{vn}$ ; $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\tau_{ri}=\tau_{rn}$

$\tau_{vn}+\tau_{rn}=t_{n}$

Где $\tau_{vn}$ и $\tau_{rn}$ - количество временных промежутков исправной работы и временных промежутков, когда система восстанавливалась соответственно.

(Индексы: v-valid, время исправной работы; r-restore, время восстановления)

Далее. Законы распределения для сумм времени безотказной работы и времени восстановления при условии, что все $\tau_{vi}$ и $\tau_{ri}$ - независимые случайные величины, соответственно имеют следующий вид:

$F_{n}(t)=P(\tau_{vn}<t)=\int\limits_0^t {F_{n-1}}(t-\tau)dF(\tau)$ ; $F_{1}(t)=F(t)$ (1)
$G_{n}(t)=P(\tau_{rn}<t)=\int\limits_0^t {G_{n-1}}(t-\tau)dG(\tau)$ ; $G_{1}(t)=G(t)$ (2)

Для $t_{n}$ закон распределения является композицией законов $F_{n}(t)$ и $G_{n}(t)$:
$Q_{n}(t)=P(t_{n}<t)=\int\limits_0^t {F_{n}}(t-\tau)dG_{n}(\tau)$ (3)

Я думаю, таким образом. Рассматриваем шкалу $t^{\prime}$:
$\displaystyle F({t_2}^{\prime})=F({t_1}^{\prime})+F({t_2}^{\prime}-{t_1}^{\prime}-\tau_{r1})$
$F({t_3}^{\prime})=F({t_2}^{\prime})+F({t_3}^{\prime}-{t_2}^{\prime}-\tau_{r2})$
$F({t_4}^{\prime})=F({t_3}^{\prime})+F({t_4}^{\prime}-{t_3}^{\prime}-\tau_{r3})$
Получим:
$F(t_{n}^{\prime})=F(t_{1}^{\prime})+F(t_{n}^{\prime}-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\tau_{ri})$

Рассматривая шкалу $t$, получим:
$F(t_{1})=F(t_{1}-t_{0}-\tau_{r1})$, $t_{0}=0$
$F(t_{2})=F(t_{2}-t_{1}-\tau_{r2})$
$F(t_{3})=F(t_{3}-t_{2}-\tau_{r3})$
$F(t)=F(t-\sum\limits_{i=1}^n\tau_{ri})$

Не понятно, почему в формулах (1) и (2) они никаким образом не выделяют время восстановления или исправной работы системы, а просто берут и вычитают из $t$ какое - то время $\tau$, но ведь у него есть смысл и $\tau_{r} \neq \tau_{v}$.

Не очень понятно также, что означают индексы под функцией $F$ в формулах (1) и (2), каким образом они переходят рекуррентному представлению именно по функции $F$?

Теперь, если предположить, что формулы (1) и (2) есть свертки, то на примере (1) - ой формулы:
$F(t-\tau)dF(\tau)=F(t-\tau)f(\tau)d\tau$
И тогда $F(t-\tau)f(\tau)d\tau=F(t-\tau)\cdot F(\tau)$, $\cdot$ - звездочка (свертка)
Но $f(\tau)$ - есть плотность вероятности времени восстановления, которая должна определяться через G и g соответственно. В таком случае, не понятно, что представляет собой запись: $F(t-\tau)\cdot F(\tau)$, а именно $F(\tau)$, потому что величина $\tau_{r}$ не распределена по закону $F$.
Однако, все же, если такая свертка имеет место быть, то запись: $F(\tau)$ имеет смысл того, что законы распределения $F(\tau)$ и $F(t)$ совпали и осталось одно лишь распределение $F(t)$, что и было как бы и нужно. Однако это лишь моя догадка, если я правильно понимаю. Но это очень странно, если это, все-таки, свертка.

И последняя формула (3). Как раз таки здесь, насколько я понимаю, и есть свертка, т.е.:
$F(t-\tau)dG(\tau)=F(t-\tau)g(\tau)d\tau=F(t)\cdot G(\tau)$ , $\cdot$ - свертка; $g(\tau)$-плотность распределения вероятности времени восстановления системы, где $G(\tau)$ - весовая функция.

Однако речь идет о композиции законов распределений, что как я понимаю, все же ни одно и тоже, что и операция свертки, поскольку в общем случае композиция распределений определяется так:
$Z=X+Y$ , так как величины $X$ и $Y$ независимы: $f(x,y)=f_{1}(x)f_{2}(y)$, где $f_{1}(x)$ и $f_{2}(y)$ - законы распределения соответствующих величин. Тогда композиция в общем виде:
$Q=\int\limits_{-\infty}^\infty f_{1}(z-y)f_{2}(y)dy$

Для рассматриваемой системы:
$f(\tau_{vn},\tau_{rn})=f(\tau_{vn})f(\tau_{rn})$
$G(t_n)=\int\limits_0^t F(t_n-\tau_{rn})G(\tau_{rn})d\tau_{rn}$

А нет, $f_{1}(x)$ и $f_{2}(y)$ - это же не законы распределения, так? Это плотности распределения.. Тогда (3) - я формула получается, однако опять же, я ее записывал бы так:

$G(t_n)=\int\limits_0^t F(t_n-\tau_{rn})g(\tau_{rn})d\tau_{rn}=\int\limits_0^t F(t_n-\tau_{rn})dG(\tau_{rn})$

Т.е. почему они не пишут индексы под временем, не понимаю.. Тау же разное может быть.. Идейно, не очень понимаю, что значит найти свертку таких вот распределений, мы ведь получаем третью функцию, что описывает как бы "схожесть"(из википедии) двух распределений времени. Применительно к этой задаче, не понимаю, что это значит.

Берг А.И., Бруевич Н.Г., Гнеденко Б.В., Голинкевич Т.А. (Ред.). "ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ НАДЕЖНОСТИ." Сборник трудов семинара научного совета по проблемам надежности отделения механики и процессов управления АН СССР. Взято отсюда. Стр.61-62

[jekyl]

Nicolai в сообщении #1357241 писал(а):

Где $\tau_{vn}$ и $\tau_{rn}$ - количество

Это точно количество?

Nicolai в сообщении #1357241 писал(а):

Не понятно, почему в формулах (1) и (2) они никаким образом не выделяют время восстановления или исправной работы системы, а просто берут и вычитают из $t$ какое - то время $\tau$, но ведь у него есть смысл и $\tau_{r} \neq \tau_{v}$.

Потому, что распределение двух независимых случайных величин это свёртка их распределений. И $\tau$ не вычитают, а интегрируют по нему. По сути, интегрируют по сдвигам. По моему, вы не понимаете, что такое свёртка.

Nicolai в сообщении #1357241 писал(а):

И тогда $F(t-\tau)f(\tau)d\tau=F(t-\tau)\cdot F(\tau)$, $\cdot$ - звездочка (свертка)

Звёздочка сжалась от такого (ис)пользования.

Nicolai в сообщении #1357241 писал(а):

Но $f(\tau)$ - есть плотность вероятности времени восстановления

Откуда там плотность появилась? Случаи же могут быть разные.