Теорема Нётер, первый интеграл

[qweqwe2017]

Всем здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, какую замену в лагранжиане нужно применить, чтобы используя теорему Нётер, найти первый интеграл в данное задаче? Условие: функция Лагранжа

$$L = \frac{1}{2} t^2 (\dot{q}^2 - \frac{1}{3}q^6).$$

Были попытки замен с экспонентой, типа

$$\tilde{q} = q \exp(\alpha a)$$

и аналогичное для времени, но в зависимости от параметра $\beta. Но здесь что-то получается только в общем случае, когда сумма степеней многочленов при $\dot{q}^2$ и при $\Pi (q)$ даёт $-2$. Здесь не так, очевидно.
Какие ещё замены пробовать, честно говоря, не понятно, так как каких-то особых наблюдений в процессе вообще замен в лагранжианах, кроме вышенаписанных, не сложилось.
Сдвиги, повороты координат тоже тут, конечно, не проходят.
Странный еще коэффициент пропорциональности времени, да и в квадрате. Не понятно, куда его девать.
Куда двигаться? Как в принципе решать такие задачи? Или тут решает только опыт таких вот замен?

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[пианист]

Честно сказать, не знаю, какая подстановка нужна, и зачем, а также что здесь означает термин "первый" применительно к интегралу.
Но все же хочу отметить, что у $t^2({\dot q}^2 - \frac{1}{3}q^6)dt$ легко подбирается инвариантное растяжение: $q$ растягиваем, $t$ двукратно сжимаем, $-2t\frac{\partial}{\partial t} + q\frac{\partial}{\partial q}$. Соответственно, можно применить теорему Нетер.

[pogulyat_vyshel]

Термин "первый" применительно к интегралу означает, что есть такой термин "первый интеграл".


Что бы использовать инвариантную теорию лагранжевых систем и в частности инвариантную версию теоремы Нетер обычно в задачах с неавтономным лагранжианом применяют следующую процедуру автономизации. Делаем замену времени

$$t=x(\tau),\quad \dot q=q'/x',\quad '=\frac{d}{d\tau}$$

в интеграле Действия:

$$\int Ldt=\int x^2\Big(\frac{q'^2}{x'^2}-q^6/3\Big)x'd\tau$$

Получаем автономную систему с двумя степенями свободы в обобщенных координатах $q,x$ и с лагранжианом

$$\tilde L=x^2\Big(\frac{q'^2}{x'^2}-q^6/3\Big)x'.$$

Легко сообразить (в сущности это и было написано выше), что этот лагранжиан инвариантен относительно следующей группы $x\mapsto e^{2s}x,\quad q\mapsto e^{-s}q,\quad s\in\mathbb{R}$.
Соответствующее поле симметрий
на новом конфигурационном пространстве будет $v=(v_q,v_x)=(-q,2x)$. И нетеров интеграл имеет вид

$$I=\frac{\partial \tilde L}{\partial q'}v_q+\frac{\partial \tilde L}{\partial x'}v_x$$

остается сделать обратную замену времени в этом интеграле.

[пианист]

Ясно, спасибо.

(Оффтоп)

Я просто на предмет привык смотреть с другой стороны :) в соответствии с книжечкой Н.Х.Ибрагимова.
Компоненты закона сохранения получаются как результат действия оператора Нетер (так, по крайней мере, Наиль Хайруллович его называет) на лагранжиан.
В данном случае компонента одна, $N = \xi + (\eta - \dot q \xi )\frac{\partial}{\partial \dot q} = -2t + (q + 2t\dot q)\frac{\partial}{\partial \dot q}$.
Применяем к лагранжиану, в одну строчку имеем искомый ЗС ;)

[qweqwe2017]

pogulyat_vyshel, простите, я ведь правильно понимаю, что $q' = \frac{dq}{d \tau} = \frac{\frac{dq}{dt}}{\frac{d \tau}{dt}} = \dot{q}$? Аналогично для $x$: $x' = \dot{x}$?