Конструктивист примет такое доказательство?

[Papazol]

Имеется доказательство, что иррациональное число в иррациональной степени может быть рациональным.

Рассмотрим выражение ${({\sqrt{2}^\sqrt{2} }) ^\sqrt{2}} = 2$.

Если число $\sqrt{2}^\sqrt{2} - рационально, то утверждение доказано.

Если число $\sqrt{2}^\sqrt{2} - иррационально, то рационально ${({\sqrt{2}^\sqrt{2} }) ^\sqrt{2}} = {(\sqrt{2})^2 } = 2$.

Примет ли конструктивист такое доказательство?

[Mikhail_K]

Papazol в сообщении #1356410 писал(а):

Примет ли конструктивист такое доказательство?

Ну, это классический пример неконструктивного доказательства.
То есть нет.
Но от этого доказательство не становится неправильным (с точки зрения классической логики и основанной на ней математики).

[Gagarin1968]

По-моему, доказательство безупречно.
Но оно являет собой контрпример к утверждению "иррациональное число в иррациональной степени иррационально".
Что же касается заявленного

Papazol в сообщении #1356410 писал(а):

Имеется доказательство, что иррациональное число в иррациональной степени может быть рациональным.

то, полагаю, ни о какой конструктивности речи быть не может.

[JohnDou]

(Оффтоп)

Gagarin1968 в сообщении #1356415 писал(а):

полагаю, ни о какой конструктивности речи быть не может.

Для конструктивного можно так:
$e^{\ln 2}= 2$

[iifat]

JohnDou в сообщении #1356428 писал(а):

Для конструктивного можно так:

А в чём, стесняюсь спросить, разница?

[nya]

iifat
Потому что закон исключения третьего во втором случае не используется?

[iifat]

nya в сообщении #1356464 писал(а):

закон исключения третьего

Спасибо. Странные, однако, люди эти конструктивисты

[JohnDou]

nya, iifat

(Оффтоп)

Если хочется абсолютно конструктивного, надо ещё показать что $e, \ln 2$ можно выразить непереодичной десятичной дробью. Возможно это можно сделать правильно группируя соответст. разложения в ряды.

[arseniiv]

iifat в сообщении #1356497 писал(а):

Странные, однако, люди эти конструктивисты

Так кажется только потому что классическая логика привычна и часто достаточна, причём первое из них в конечном счёте следует из того, что логики проще уже не придумаешь (кроме «логики», где всё истинно — ну от неё и пользы нет).

[george66]

iifat в сообщении #1356459 писал(а):

JohnDou в сообщении #1356428 писал(а):

Для конструктивного можно так:

А в чём, стесняюсь спросить, разница?

Разница в том, что в первом случае мы так и не узнали, чему равны нужные числа. Есть два варианта, между которыми мы не можем выбрать. Конструктивизм позволяет более тонко различать, в каком смысле мы доказали "существование" чего-то. Если предъявили ответ, это одно. Если не решённый выбор из нескольких ответов, это другое.

[Someone]

JohnDou в сообщении #1356547 писал(а):

nya, iifat
Если хочется абсолютно конструктивного, надо ещё показать что $e, \ln 2$ можно выразить непереодичной десятичной дробью. Возможно это можно сделать правильно группируя соответст. разложения в ряды.

Ничего подобного не требуется. Я сколько-нибудь подробно знаком только с советским направлением конструктивизма, в котором конструктивные действительные числа задаются парой алгоритмов, один из которых выдаёт фундаментальную последовательность рациональных чисел, а другой называется регулятором сходимости и по заданному натуральному $n$ указывает номер, начиная с которого члены последовательности отличаются от предела меньше, чем на $2^{-n}$. Для чисел $e$ и $\ln 2$ такие алгоритмы, естественно, существуют.
Кстати, разложение произвольного конструктивного действительного числа в десятичную дробь, вообще говоря, не конструктивно. Также не существует алгоритма, который проверял бы равенство любых двух конструктивных действительных чисел.
Но я не в курсе, как там обстоят дела с доказательством иррациональности. Подозреваю, что всё в порядке, но примеров таких доказательств не видел.

[kotenok gav]

Ну я видел док-во иррациональности e, очень простое.

[Someone]

kotenok gav в сообщении #1356666 писал(а):

Ну я видел док-во иррациональности e, очень простое.

Конструктивистское?

[kotenok gav]

Более чем.

-- 25 ноя 2018, 18:59 --

https://ru.wikipedia.org/wiki/E_(%D1%87 ... 0%BB%D0%BE)#Свойства

[Sender]

(kotenok gav)

По-видимому, для корректного формирования ссылки символ "#" надо кодировать в виде "%23". В свою очередь, название ссылки для лучшей читаемости можно перевести из URL-кодировки в обычную, воспользовавшись, к примеру, сайтом https://www.url-encode-decode.com/

https://ru.wikipedia.org/wiki/E_(число)#Свойства