2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эллипсоид
Сообщение08.02.2012, 17:16 


08/02/12
86
Столкнулся с такой задачей:
"В евклидовом пространстве $R^3$ задан эллипсоид с главными полуосями $a,b,c$. Вокруг него описан прямоугольный параллелипипед(так, что эллипсоид касается каждой из граней параллелипипеда). Найти длину главной диагонали."

Понятно, что если каждая грань касается с полуосью, то тогда стороны равны $2a, 2b, 2c$ и задача проста. Но вот если в другой точке, то, видимо надо решать через уравнение эллипсоида. Но пока что я не смог реализовать этот способ.

Возможно скоро получу похожую задачу на олимпиаде, поэтому буду признателен за любую помощь.

-- 08.02.2012, 18:37 --

Я тут подумал, что центры эллипсоида и параллелипипеда должны совпадать. Как вы думаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид
Сообщение08.02.2012, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13509
Из соображений симметрии должны совпадать. Касание возможно при любом повороте. Наверное, длина диагонали является инвариантом. Кстати, это диаметр описанной вокруг параллелепипеда сферы

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид
Сообщение08.02.2012, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
24622
Уфа
gris в сообщении #536439 писал(а):
Наверное, длина диагонали является инвариантом.
Кстати, это можно проверить в двумерном случае эллипса и прямоугольника. :-) Если не выполнится, то в трёхмерии уж точно не выполнится.

P. S. Ага, у прямоугольника, описанного вокруг эллипса, инвариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид
Сообщение08.02.2012, 21:14 


08/02/12
86
То есть получается, что диагональ равна $2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид
Сообщение08.02.2012, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
24622
Уфа
Ага.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид
Сообщение09.02.2012, 16:32 


08/02/12
86
А как доказать, что диагональ- инвариант?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид
Сообщение09.02.2012, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Доказательство для пространства любой размерности. Пусть в $\mathbb R^n$ задан эллипсоид с главными полуосями $a_1, a_2, \dots, a_n$. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпадало с центром эллипсоида, а оси координат были направлены по осям эллипсоида. Тогда уравнение эллипсоида имеет вид $$\frac {x_1^2} {a_1^2} + \frac {x_2^2} {a_2^2} + \dots + \frac {x_n^2} {a_n^2} = 1 \eqno(1)$$ Выберем теперь ортонормированный базис $\vec {b_1}, \vec {b_2}, \dots, \vec {b_n}$ так, чтобы вектор $\vec {b_i}$ был ортогонален $i$-й паре граней параллелепипеда. Пусть $\vec {b_i} = (b_{i1},b_{i2},\dots,b_{in})$, $B=(b_{ij})$ - матрица координат этого базиса.
В двух точках, в которых $i$-я пара параллельных граней параллелепипеда касается эллипсоида, нормаль к поверхности эллипсоида будет ортогональна соответствующей грани, а значит коллинеарна $\vec {b_i}$. С другой стороны, нормаль направлена по градиенту левой части $(1)$ в соответствующей точке. Значит если $x_i =(x_{i1}, x_{i2}, \dots, x_{in})$ - точка касания, то $\left( \frac {x_{i1}} {a_1^2}, \frac {x_{i2}} {a_2^2}, \dots, \frac {x_{in}} {a_n^2} \right) = k_i (b_{i1},b_{i2},\dots,b_{in})$ для некоторого $k_i$. Отсюда $$x_{ij}=k_ib_{ij}a_j^2 \eqno(2)$$ Подставив в $(1)$, найдём: $k_i=\pm \frac 1 {\sqrt {S_i}}$, где $S_i=\sum\limits_{j=1}^n b_{ij}^2 {a_j^2}$. Умножив скалярно вектор $\vec {x_i}$ на $\vec {b_i}$, получим, в силу $\| \vec {b_i} \| = 1$, половину $i$-го ребра параллелепипеда (с точностью до знака). Из $(2)$ следует, что это скалярное произведение равно $k_iS_i=\pm \sqrt {S_i}$. Значит квадрат $i$-го ребра равен $4S_i$, стало быть квадрат главной диагонали параллелепипеда равен $$4\sum\limits_{i=1}^n {S_i} = 4\sum\limits_{i=1}^n {\sum\limits_{j=1}^n b_{ij}^2 {a_j^2}}=4\sum\limits_{j=1}^n {a_j^2 \sum\limits_{i=1}^n {b_{ij}^2}} \eqno (3)$$ Из ортонормированности базиса $(\vec {b_i})$ следует, что $BB^T=E$, откуда $B^TB=E$. Расписывая последнее равенство покоординатно для $j$-го элемента диагонали результата, получим $\sum\limits_{i=1}^n {b_{ij}^2}=1$ при каждом $j$. А это означает, что сумма в $(3)$ равна $4\sum\limits_{j=1}^n {a_j^2}$ - диагональ параллелепипеда не зависит от направления его рёбер, а зависит только от эллипсоида и всегда равна $$2 \sqrt {a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид
Сообщение12.02.2012, 10:47 


08/02/12
86
Красиво

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипсоид
Сообщение22.11.2018, 17:43 


22/11/18
2
Здравствуйте! Можете, пожалуйста пояснить, как была получена формула, из которой следует формула 2?
Заранее спасибо за ответ

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group