Обобщение Теоремы Вильсона

[JohnDou]

Теорема Вильсона гласит:

$p$ - простое, тогда и только тогда, когда $(p-1)!+1$ делится на $p$.

Предлагаю следующее обобщение:
Введём обозначение: $^s_hn!:=s(s+h)(s+2h)\cdot ... \cdot (s+(n-1)h)$, $^s_h0!:=1$
Замечание: для $s=h=1$ получается обычный факториал.
Тогда Теорема :

$p$ - простое, тогда и только тогда, когда $w(p):=\frac{^{np+r_1}_{mp+r_2}kp!}{\prod_{i:ip+r\leq (np+r_1+(kp-1)(mp+r_2)} (np+r_1+(ip+r)(mp+r_2))}+1$ делится на $p$.

Где $n, m, k, i$ - натуральные числа, $r_1, r_2$ - остатки от деления на $p$ ($r_2\neq 0$), а $r$ - решение сравнения $r_1+r\cdot r_2 \equiv 0 \mod p$ такое что $0\leq r<p$.
Замечание: $r$ нельзя выразить формулой. Но $r$ можно выразить алгоритмически, и показать что $r$ всегда существует.

См. уточнение формулы в post1355837.html#p1355837

Примеры: $\frac{^2_5 (2\cdot 7)!}{(2+5)(2+8\cdot 5)}+1=\frac{2\cdot 7\cdot 12\cdot 17\cdot 22\cdot 27\cdot 32\cdot 37\cdot 42\cdot 47\cdot 52\cdot 57\cdot 62\cdot 67}{7\cdot 42}+1=2\cdot 12\cdot 17\cdot 22\cdot 27\cdot 32\cdot 37\cdot 47\cdot 52\cdot 57\cdot 62\cdot 67+1\equiv 0\mod 7$

$\frac{^{23}_{41}10!}{(23+2\cdot 41)(23+7\cdot 41)}+1=\frac{23\cdot 64\cdot 105\cdot 146\cdot 187\cdot 228\cdot 269\cdot 310\cdot 351\cdot 392}{105\cdot 310}+1=23\cdot 64\cdot 146\cdot 187\cdot 228\cdot 269\cdot 351\cdot 392+1\equiv 0\mod 5$

Для $r_1=r_2=1$ справедливо соотношение:

$$w^2(p)\equiv\left\{ \begin{array}{rcl} 1\mod p&p\text{ is prime} \\ 0\mod p& \text{otherwise}\\ \end{array} \right.$$

При произвольных $r_1, r_2$ оно может быть не верно.
Пример: $w(6)=5\cdot 8\cdot 11\cdot 14\cdot 17\cdot ...$
-----------------------------------------------------------------------------
Замечание: определение $^s_hn!$ может казаться искусственным, но, на самом деле, оно встречается при разложении в ряды некоторых неэлементарных интегралов;

Можно попробовать:
$^S_HV!:=S_0\cdot I(S_1\cdot I + I\cdot H_0)(S_2\cdot I + V_1\cdot H_1)...$ т.е. $\sum a_i(\sum a_i +\sum b_i)...$
где $S, H, V$ - матрицы, $I$ - единичный вектор, $\cdot$ - скалярное произведение, $S_i, H_i, V_i$ - $i$-тые строки соотв. матриц.
Теорема: Если есть целочисленные матрицы $S, H$, причём в каждой $H_i$ есть $h \not\equiv 0 \mod p$, то есть и матрица $V$ и константы $k_i$, такие что (см. выше).
-----------------------------------------------------------------------------
Можно обобщать и дальше: добавить степени, целые числа итп.
(Не исключены опечатки)

Сейчас внимательно посмотрел Википедию, очень похоже что Гаусс меня опередил

[jekyl]

(Оффтоп)

JohnDou в сообщении #1355696 писал(а):

определение $^s_hn!$ может казаться искусственным

Не искусственное, но факториал страшен... У Гельфонда в "Исчислении конечных разностей" видел подобную штуковину, обобщённые степени: $ x^{\left(\frac{k}{h}\right)}:=x(x-h)\ldots(x-(k-1)h). $
Разностный оператор $\Delta_h f(x) = f(x+h)-f(x)$ на них "хорошо" действует.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- просьба ТС.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[Andrey A]

JohnDou в сообщении #1355696 писал(а):

$r$ - решение сравнения $r_1+r\cdot r_2 \equiv 0 \mod p$ такое что $0\leq r<p$.
Замечание: $r$ нельзя выразить формулой. Но...

Но почему же? $r\equiv -\dfrac{r_1}{r_2} \mod p.$

И что-то не так с Вашими примерами: $2\cdot 12\cdot 17\cdot 22\cdot 27\cdot 32\cdot 37\cdot 47\cdot 52\cdot 57\cdot 62\cdot 67+1\equiv 0\mod 7$

Выпишем все множители по $\mod 7:\ 2,5,3,1,6,4,2,5,3,1,6,4.$ Каждый вычет присутствует дважды, имеем квадрат факториала, но если $(p-1)!\equiv -1$ то $(p-1)!^2 \equiv 1$ Тогда в Вашем примере должно быть не $+1$, а $-1$. То же и с пятеркой.

[JohnDou]

Andrey A в сообщении #1355811 писал(а):

Но почему же? $r\equiv -\dfrac{r_1}{r_2} \mod p.$

Если мы подставим соответ. значения, все равно придется делать доп. преобразования для нахождения $r$.

Цитата:

И что-то не так с Вашими примерами: $2\cdot 12\cdot 17\cdot 22\cdot 27\cdot 32\cdot 37\cdot 47\cdot 52\cdot 57\cdot 62\cdot 67+1\equiv 0\mod 7$

Да, потерял критерий, нужно:

$p$ - простое, тогда и только тогда, когда $w(p):=\frac{^{np+r_1}_{mp+r_2}kp!}{\prod_{i:ip+r\leq (np+r_1+(kp-1)(mp+r_2)} (np+r_1+(ip+r)(mp+r_2))}+(-1)^{k+1}$ делится на $p$.

И в примерах -1.

Док-ва попробую дать при необходимости

[Andrey A]

Мне кажется, что не определение $^s_hn!$, а сама идея несколько искусственная. Если каждый множитель $(p-1)!$ домножить на некоторое $h$ не кратное $p$, то произведение всё равно будет $\equiv -1 \mod p$. Если их еще постричь по $\mod p$, образуется прогрессия из $p-1$ членов с разностью $h$, и это в некотором смысле действительно обобщает теорему Вильсона, ведь факториал можно рассматривать как произведение членов прогрессии с $h=1$. Но если стричь по произвольному модулю, то один из множителей обязательно окажется кратен $p$, и сразу появляется необходимость в оговорках и в знаменателе, устраняющем проблему. Как-то так.

[JohnDou]

Эх, стартовый пост своей возни не стоил...

Все оказалось предельно просто:
$p$ - простое.
1) Для каждого остатка $r_1 \mod p$ есть $r_2$ такое что $r_1\cdot r_2\equiv 1 \mod p$

(Док-во)

По Малой Теореме Ферма имеем $r_1^{p-1}\equiv 1 \mod p$, $r_2=r_1$ только если $r_1=1 \vee p-1$

2) Тогда, если в каком-то наборе целых чисел нет кратных $p$, и все числа можно разбить так, чтобы каждому остатку соответствовал остаток из п.1, то произведение этих чисел будет $(-1)^t \mod p$, где $t$ - кол-во чисел $\equiv p-1 \mod p$.

3) Такие наборы можно строить разными способами, например, при помощи прогрессий (возможно, с выкалыванием членов) итп.