Поглощающие множества и ограниченные решения

[demolishka]

Рассмотрим систему ОДУ:

$$\dot{x}=f(t,x),$$

где $x \in \mathbb{R}^{n}$, $t \in \mathbb{R}$ и $f(t,x)$ непрерывна и удовлетворяет локальному условию Липшица. Через $x(t,t_{0},x_{0})$ будем обозначать решение задачи Коши такое, что $x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}$. Будем предполагать, что решение задачи Коши существует при $t \geq t_{0}$.

Множество $F \subset \mathbb{R}^{n}$ назовем поглощающим для этой системы, если выполнено
(P1) Для всех начальных данных $(t_{0},x_{0})$ найдется $T>t_{0}$ такое, что $x(t,t_{0},x_{0}) \in F$ при всех $t \geq T$.

Назовем множество $F \subset \mathbb{R}^{n}$ инвариантным, если выполнено
(P2) Если $x_{0} \in F$, то $x(t,t_{0},x_{0}) \in F$ при всех $t \geq t_{0}$.

Известна следующая теорема.

Теорема 1. Если у системы существует компактное поглощающее инвариантное множество $F_{0}$, то существует, по крайней мере одно, ограниченное на всей оси решение.

Доказательство. Для $j=1,2,\ldots$ рассмотрим множества $F_{j}$ определяемые как множество начальных данных $x_{0}$ таких, что $x(-j,0,x_{0}) \in F_{0}$. Легко видеть, что $F_{j}$ в силу (P2) не пусты. В силу инвариантности (свойства (P2)) имеем $F_{0} \supset F_{1} \supset F_{2} \supset \ldots$. Из интегральной непрерывности и замкнутости $F_{0}$ следует, что $F_{j}$ замкнуты и, следовательно, компактны. Поэтому пересечение $\bigcap_{j} F_{j}$ не пусто и содержит хотя бы одну точку $x^{*}$. Очевидно, $x(t,0,x^{*})$ есть искомое ограниченное решение.$\qed$

Для $\gamma \geq 0$ множество $F \subset \mathbb{R}^{n}$ назовем $\gamma$-инвариантным, если выполнено условие
(P2b) Для всех $(t_{0},x_{0})$ из того, что $x_{0} \in F$ следует, что $x(t,t_{0},x_{0}) \in F$ для всех $t \geq t_{0}+\gamma$.

Вопрос. Насколько известно следующее обобщение теоремы 1?

Теорема 2. Если у системы существует компактное поглощающее и $\gamma$-инвариантное множество $F_{0}$, то существует, по крайней мере одно, ограниченное на всей оси решение.

Доказательство. Обобщение получается из того, что последовательность $F_{j}$, определенную в доказательстве теоремы 1, можно разредить, сохранив вложенность. Пусть $i < j$. В силу того, что $x(-i,0,x_{0})=x(-i,-j,x(-j,0,x_{0}))$, то при $-i \geq -j + \gamma$ имеем $F_{i} \supset F_{j}$. Таким образом, можно заполучить подпоследовательность $F_{0}=F_{j_{0}} \supset F_{j_{1}} \supset F_{j_{2}} \ldots$. Из (P2b) следует, что $F_{j}$ не пусты. Так что найдется точка точка $x^{*} \in \bigcap_{k} F_{j_{k}}$ и $x(t,0,x^{*})$ - искомое ограниченное решение. $\qed$

$\gamma$-инвариантные множества появляются, когда имеется какая-либо оценка на норму решений. Например, для $\alpha,\varkappa>0$

$$|x(t)| \leq e^{-\alpha (t-t_{0})}|x(t_{0})| + \varkappa.$$

Легко проверить, что множество $F_{0}:=\{ |x| \leq 2\varkappa \}$ является $\frac{\ln 2}{\alpha}$-инвариантным и поглощающим.

Разница подходов очень сильно видна на примере линейной системы

$$\dot{x} = Ax + f(t)$$

с устойчивой матрицей $A$ и ограниченной $f$. Конечно ограниченные решения тут находятся другими методами по всем известным формулам и в более общих случаях. Но если поставить целью применить тут теоремы 1 или 2, то в первом случае приходится строить специальную функцию Ляпунова, а во втором можно обойтись тупо обычной оценкой по формуле Коши.

[Кролик]

demolishka в сообщении #1350662 писал(а):

Известна следующая теорема.

Теорема 1. Если у системы существует компактное поглощающее инвариантное множество $F_{0}$, то существует, по крайней мере одно, ограниченное на всей оси решение.

Доказательство. Для $j=1,2,\ldots$ рассмотрим множества $F_{j}$ определяемые как множество начальных данных $x_{0}$ таких, что $x(-j,0,x_{0}) \in F_{0}$. Легко видеть, что $F_{j}$ в силу (P2) не пусты. В силу инвариантности (свойства (P2)) имеем $F_{0} \supset F_{1} \supset F_{2} \supset \ldots$. Из интегральной непрерывности и замкнутости $F_{0}$ следует, что $F_{j}$ замкнуты и, следовательно, компактны. Поэтому пересечение $\bigcap_{j} F_{j}$ не пусто и содержит хотя бы одну точку $x^{*}$. Очевидно, $x(t,0,x^{*})$ есть искомое ограниченное решение.$\qed$

Странно... Доказательство вроде бы не опирается на то, что $F_{0}$ поглощающее (свойства (P1)). Необходимо ли это условие в теореме?

[demolishka]

Кролик в сообщении #1355863 писал(а):

Необходимо ли это условие в теореме?

Формально нет. Обычно такие свойства появляются при применении прямого метода Ляпунова, вот я и приплел их сюда вместе, недодумав.

Про линейные системы я тоже ляпнул сгоряча. На самом деле получается более тонкая оценка: $|x(t)| \leq M e^{-\alpha(t-t_{0})}(|x(t_{0})|-\varkappa)+\varkappa$. Из нее видно, что множество $F = \{ |x| \leq \varkappa \}$ инвариантно.

Что же касается моего вопроса

demolishka в сообщении #1350662 писал(а):

Насколько известно следующее обобщение теоремы 1?

то подобные свойства (вариации понятия диссипативности) известны. Пару ссылок можно найти в конце стр. 16 (694) работы R. A. Smith. Massera’s Convergence Theorem for Periodic Nonlinear Differential Equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 120, 679-708 (1986).