Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе

[misha.physics]

Здравствуйте.
Данный вопрос у меня возник в физике, но специфика его математическая, поэтому он здесь. И хочеться разобраться в вопросе не только применительно к данной проблеме. Не знаю, с какого места мне начинать в нем разбираться, наверное заходить прийдеться глубоко.

Для лучшего понимания начну сначала, хотя может этого всего и не нужно было писать, а начать сразу с вопроса. У меня есть функционал действия $S=S[g^{\mu\nu}, A_\mu]$ для физической системы электрически заряженной, невращающейся чёрной дыри в 3-х мерном пространстве-времени. Пусть, для простоты, лагранжиан эл. магн. поля входит в действие просто как $L(F)=-F$, где $F=F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$, $F_{\mu\nu}$ --- дважды ковариантный тензор электромагнитного поля. То есть, обычное максвелловское эл. магн. поле.
После варьирования действия $S$ по компонентам ковариантного потенциала эл. магн. поля $A_\mu$ я получаю такие уравнения эл. магн. поля:

$$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}(\sqrt{-g}F^{\mu\nu})=0$$

$x^0=t$
$x^1=r$
$x^2=\varphi$
$g\equiv\det||g_{\mu\nu}||=-r^2$

У меня только $A_0\ne0$, поэтому только $F_{10}=-F_{01}\ne0$. Принимаю $\mu=1$ и получаю решение:

$$F_{10}=\frac{q}{r}$$

$q$ - постоянная интегрирования.

Теперь мне нужно связать $q$ с полным электрическим зарядом $Q$. Когда мы ещё не знаем о тензорах, то у нас есть:

$$\oint\limits_{S}\vec{E}\cdot d{\vec{S}}=4\pi Q$$

Мне нужно понять, как записать это выражение в тензорном виде в моем случае. Получается так, что "нужный" результат дает формула:

$$\frac{1}{2}\oint\limits dx^\lambda\varepsilon_{\mu\nu\lambda}[\sqrt{-g}F^{\mu\nu}]=4\pi Q$$

Тогда получается, что $q=2Q$.

Получается, что то, что у меня в квадратных скобках это то, что было под знаком производной в уравнениях эл. магн. поля. Этот интеграл что я написал, должен быть ещё связан по теореме Остроградского-Гаусса с другим интегралом от дивергенции, но я не знаю как его получить.

Вот есть у меня уравнение эл. магн. поля, там есть свертка по $\mu$. Это напоминает ковариантную дивергенцию, но без символов Кристоффеля. Интуитивно я вижу такой путь. Имея уравнения эл. магн. поля мы можем как-то перейти к интегралу от дивергенции, потом от него к интегралу по "поверхности" и связать все это с коэффициентом $4\pi Q$. Я не вижу, как связать один из этих интегралов с $4\pi Q$. Я не знаю, как записать соответствующие интегралы в тензорном виде и как их понимать. Соответствующую мат. справку в ЛЛ-2 несколько раз пропускал из-за непонимания дуальных тензоров, смысла тензора Леви-Чивиты и т. д. Раньше не было необходимости это разбирать и пропускал. До этого момента. Там как-раз есть интересная формула:

$$\frac{1}{2}\oint\limits A^{ik}df_{ik}^*=\int\limits dS_i\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^k}$$

Понимаю, что быстро этому научится не получится, поэтому прошу посоветовать с чего хотя бы начать? С элементарных вещей связки интегрирование+тензорный анализ. Хотелось бы не просто получить теорему Остроградского-Гаусса, а понять больше. Чтобы можно было для любой размерности такие интегралы писать и т. д.

О диф. операторах типа градиента, ротора и дивергенции немного читал у Вайнберга (Гравитация и космология). О ковариантной производной и т. д. Может вы скажите с чего начать, и если по ходу у меня возникнут вопросы я буду задавать их в этой теме? Просто нет идей с чего начать.

-- 22 ноя 2018, 00:07 --

P. S. С интегралами в тензорном виде вообще ещё работать не приходилось, пониманию, насколько плачевный мой начальный пост

-- 22 ноя 2018, 00:25 --

Возможно, эффективнее всего посоветовать литературу, где это максимально ясно и длинно излагают.

[pogulyat_vyshel]

Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

[misha.physics]

pogulyat_vyshel, спасибо, буду читать.

[Munin]

В ЛЛ-2 же есть все необходимые формулы. Вайнберг, МТУ.

[misha.physics]

Munin, я просто хочу получить эти формулы, чтобы лучше понять их. Да и стыдно, что я до сих пор этого не понимаю.

-- 22 ноя 2018, 15:36 --

Хочу чувствовать себя более свободно в этой теме.

[Munin]

Тогда рекомендую сначала Вайнберга, потом МТУ. Учебники по математике - слишком основательны и медлительны.

Хорошо ли у вас с тензорными формулами из первой части ЛЛ-2? Например, понимаете ли вы, как (16.1) перейти к (16.3); от (23.3) к (17.3), (17.4); от (23.4) к (17.5); от (26.6) к (26.5) и далее к (26.1), (26.2); от (30.2) к (30.3), (30.4); от (33.7) к (31.1), и далее с подстановкой этих соотношений - от (32.13) к (31.3)?

[misha.physics]

Munin, спасибо за указанные переходы между формулами. Разберу их и отвечу.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1355954 писал(а):

Например, понимаете ли вы, как (16.1) перейти к (16.3); от (23.3) к (17.3), (17.4); от (23.4) к (17.5); от (26.6) к (26.5) и далее к (26.1), (26.2); от (30.2) к (30.3), (30.4); от (33.7) к (31.1), и далее с подстановкой этих соотношений - от (32.13) к (31.3)?

Наконец, могу ответить, кроме последнего перехода, он ещё в процессе. Не то чтобы мне потребовалась для этого целая неделя, просто я начал около двух дней назад.

Все переходы кроме последнего (от (32.13) к (31.3)) я проделал, проверил, получается. Есть вопрос об переходе от (33.7) к (31.1). В тензорной формуле (33.7) я взял только $i=0$ - компоненту, по понятным причинам, чтобы получить член $-\vec{j}\vec{E}$, который есть в (31.1). Но вот интересно, что дадут пространственные компоненты. Если, например, положить в (33.7) $i=1$, то справа получим

$$\frac{1}{c}(c\rho E_x+j_yH_z-j_zH_y).$$

Если собрать все пространственные компоненты (и умножить на соответствующие орты), то справа получаются члены вида $\rho \vec{E}$ и $[\vec{j}\vec{H}]$. Уже сейчас интересно, будут ли они что-то описывать? Или можно сказать, что если у нас есть какая-то формула в 4-виде, то все её компоненты что-то описывают? Я думаю, что векторное равенство мы какое-то можем получить, вопрос в том, окажется ли оно "полезным". Я просто не знаю, стоит ли проводить расчёты, всё расписывать, а потом собирать чтобы посмотреть, что дадут пространственные компоненты уравнения (33.7).

По поводу последнего перехода от (32.13) к (31.3) у меня есть сейчас несколько соображений, но сначала хочу уяснить для себя выше написаное.

-- 30 ноя 2018, 14:12 --

pogulyat_vyshel,
Посмотрел в Современную геометрию. Похоже, то что мне нужно, это Глава 4, параграф 26. Честно говоря, при первом взгляде мне всё это показалось устрашающим. Эти значки $\wedge$ и т. д., что-то я растерялся даже. И грустно как-то стало :(

-- 30 ноя 2018, 14:23 --

Но потом вспомнил, как меня раньше пугали тензорные (да и не только) формулы в ЛЛ-2, и немного успокоился. Может и книги по математике мне под силу. Просто легче читаются учебники, где, например вместо

$$\int\Psi^*\Psi dV=1$$

пишут

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(x,y,z)\Psi(x,y,z)dxdydz=1.$$

Ну может я перегибаю немного. Понятно, что нужно просто привыкнуть, но мне кажется, что выигривая в краткости записи мы немного проигрываем в "быстроте" понимания.

-- 30 ноя 2018, 14:27 --

Мне кажется понятным, что мало кто из автором учебника, например, по квантовой механике будет все так детально расписывать как бы мне хотелось. Автор вправе думать, что если человек взялся за эту тему, то его не должно смущать отсутствие явного указания аргументов функции и т. д., и это может быть и правильно.

-- 30 ноя 2018, 14:32 --

(Оффтоп)

Я тут заметил, что в ЛЛ-2 после "центральной" формулы может стоять точка, запятая или ничего (если к этой формуле обращаются и т. д.). И в статьях вижу так делают. Мне вот интересно, это "всегда" было так принято, да? Просто я раньше как-то подсознательно всегда старался ничего не ставить после центральной формулы, например мне казалось, что точка после формулы может отвлекать внимание и т. д.

-- 30 ноя 2018, 14:41 --

misha.physics в сообщении #1357723 писал(а):

Я думаю, что векторное равенство мы какое-то можем получить, вопрос в том, окажется ли оно "полезным".

А может быть, что три пространственные компоненты какого-то тензорного уравнения в физике (в смысле 4-уравнения) не соберутся в трехмерное векторное уравнение с привычными нам трёхмерными векторами в физике? Немного коряво выразился.

[vpb]

misha.physics
Скажем сразу, в математическом аппарате ОТО я не разбираюсь. (Когда мне было 20 лет, читал-разбирал ЛЛ-2, и кое-что еще, но это было столь давно, что почти неправда).

Хотя учебники математики действительно, с точки зрения физика, слишком основательны и медлительны, тем не менее советую Вам, на всякий случай, почитать что-нибудь, хоть немного, по классическому анализу (про этих самых Гаусса-Остроградского и интегрирование дифференциальных форм вообще). ДНФ книга неплохая, но я считаю, что там слишком часто даются объяснения "на пальцах", и к тому же не слишком понятные. Если ограничиваться только ДНФ или книжками для физиков (кажется, ДНФ для физиков и писалась, емнип ?), то вполне возможно попасть в ситуацию непонимания, которое неясно как разрешить. А читая книжки для математиков, можно же, при некотором желании, и не погружаться в формализм или логические обоснования, а следить за содержательной стороной предмета. Конкретно, могу назвать книги Фихтенгольца (там совсем простые классические случаи рассматриваются), Зорича, Рудина и Камынина. Ни про одну из этих книг нельзя сказать, что она содержит всё, что Вам надо, или не содержит лишнего для Вас, но во всяком случае книги это хорошие. ( А такую известную книгу, как Л.Шварц, Анализ, лучше не читать, т.к. она весьма сложна).

misha.physics в сообщении #1357723 писал(а):

А может быть, что три пространственные компоненты какого-то тензорного уравнения в физике (в смысле 4-уравнения) не соберутся в трехмерное векторное уравнение с привычными нам трёхмерными векторами в физике?

По моим понятиям, вряд ли. Тем более и в математике уже давно стараются всё писать не в координатах, а в инвариантном виде (правда, в начальных учебниках часто пишут и в координатах).

Про ДНФ еще. Имейте в виду, там часто отдельные главы или даже параграфы между собой слабо связаны, поэтому часто читать строго в линейном порядке не обязательно.

misha.physics в сообщении #1357723 писал(а):

может стоять точка, запятая или ничего

просто как в обычном предложении, имхо,т.е. как если бы формула была в строке (я, вообще-то, не знаю, "как принято", но сам всегда так делаю. Надо посмотреть, кстати, как в книжках).

[Munin]

К сожалению, день-два не смогу отвечать по ЛЛ-2.

[misha.physics]

vpb,

vpb в сообщении #1357752 писал(а):

тем не менее советую Вам, на всякий случай, почитать что-нибудь, хоть немного, по классическому анализу (про этих самых Гаусса-Остроградского и интегрирование дифференциальных форм вообще)

Полностью с вами согласен. Мне хоть нередко математические книги даются нелегко, но я понимаю, что для понимания математики в физике их нужно читать. Я думаю, что книги для математиков (не все) нужны физикам. Помню читал Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды и мне это даже нравилось. Читал линейную алгебру, аналитическую геометрию, математический анализ по книгам из курса Курс высшей математики и математической физики, ну там где Ильин, Позняк... Интересно было. И полезно. Более грамотно себя чувствуешь и более уверенно. Например узнать, что дифференциал это линейная (по приращению аргумента) часть приращения функции и т. д.

Что касается тензорного анализа и т. д., то мне понятно, что было бы очень хорошо (и просто необходимым) почитать что-то "математическое", нужно только собраться и делать так. Помню читал Рашевского, несколько первых глав, но некоторые темы так и не осилил. Хотя сама книга довольно подробно написана, просто у меня не хватило напорства и усидчивости.

-- 30 ноя 2018, 16:52 --

Munin,

Munin в сообщении #1357760 писал(а):

К сожалению, день-два не смогу отвечать по ЛЛ-2.

Хорошо, это не так срочно, спасибо.

[vpb]

misha.physics в сообщении #1357763 писал(а):

просто у меня не хватило напорства и усидчивости

Вполне могут быть другие причины. (а) На тот момент то, что там было написано, слишком далеко выходило за пределы Ваших знаний. (б) Оно Вам и не нужно было, не было ясного мотива, или (в) книга в том месте неудачно написана. И другие причины возможны. Так что не обвиняйте себя зря.

Книжку Будак-Фомин раньше не видел. Сейчас посмотрел --- хорошая, годная (оно и не удивительно, учитывая, что один из соавторов --- С.В.Фомин). Начальное понимание про Грина-Гаусса-Стокса-Остроградского вполне возможно и по этой книжке. Про Ильина-Позняка на настоящий момент определенного мнения не имею, но это считается классический учебник.

[pogulyat_vyshel]

misha.physics в сообщении #1357723 писал(а):

pogulyat_vyshel,
Посмотрел в Современную геометрию. Похоже, то что мне нужно, это Глава 4, параграф 26. Честно говоря, при первом взгляде мне всё это показалось устрашающим. Эти значки $\wedge$ и т. д., что-то я растерялся даже. И грустно как-то стало :(

ну грустно не грустно, а учить математику по учебникам физики это путь в никуда. Современная геометрия это как раз книжка написанная для физиков, но написанная математиками, которые понимают, что говорят, в отличие от

[misha.physics]

pogulyat_vyshel, понимаю, мне тоже хочется строгости и обоснований, чтобы относительно крепко стоять на столбах математики, и не волноваться потом о том, будет ли та или эта формула справедлива при тех или этих условиях. Или какие условия использовались для доказательства той или этой теоремы. Просто не знаю, насколько это возможно знать математику как математик и заниматься физикой. Об этом, наверное, речь и не идет. Лично мне хотелось бы (это мой максимализм, конечно) знать математику (не все разделы, конечно, в первую очередь ту, которая нужна для работы, потом ту, что встречается в физике, но не связанна непосредственно с моей областю, и, наконец, ту математику, которая просто мне интересна) чуть меньше чем в книгах по математике (я просто не знаю, как должен знать математику математик), но больше, чем в книгах по физике.

[vpb]

pogulyat_vyshel в сообщении #1357811 писал(а):

которые понимают, что говорят, в отличие от

Поясните пожалуйста, почему Вы решили, что я не понимаю, о чем говорю ? Несомненно, книжка в основном хорошая, и авторы понимали, что пишут. Но вот у читателя часто возникает чувство непонимания. Конкретно мое утверждение, что они слишком часто что-то объясняют на пальцах, может, и неправильное. Тем не менее, общее мое чувство по отношению к этой книге какое-то нехорошее... Некоторое время назад я счел, что мои знания в дифгеме слабы, и прикидывал, по чему бы конкретно его переучить. И ДНФ мной в качестве возможности не рассматривалась. Хотя в студенческие годы я ее читал.