Сближение электронов

[reterty]

Рассмотрим следующую школьную задачу, ставшую давно классической:
Два электрона, находящиеся очень далеко друг от друга, движутся навстречу друг другу вдоль
одной прямой с одинаковыми по величине скоростями $\upsilon_0$. На какое наименьшее расстояние они сблизятся?

Школьное решение этой задачи основывается на равенстве суммарной начальной кинетической энергии потенциальной энергии их взаимодействия.
На мой взгляд серьезное решение этой задачи куда более "серьезное".
1) Необходимо учесть энергетические потери заряженных частиц на излучение при торможении. Но как? Есть два варианта:
а) из "энергетики", применяя формулу для мощности излучения в дипольном приближении (получается вроде интегральное уравнение);
б) из "динамики", применяя формулу для тормозной силы Абрахама-Лоренца (выходит тоже непростой диффур).
2) при релятивистских скоростях $\upsilon_0$ вроде как нужно еще учесть запаздывающие потенциалы Лиенара-Вихерта.
Обсудим?

[Munin]

1 - да. (а, б - нет.)
2 - нет.

[reterty]

Munin в сообщении #1355460 писал(а):

1 - да. (а, б - нет.)
2 - нет.

Уважаемый Munin! Почему а), б) нет и как тогда?

[reterty]

Смотрю ЛЛ Т.2, стр. 233 "...замкнутая система, состоящая из частиц, у которых отношение зарядов к массам есть величина
постоянная не может излучать дипольно". Следовательно необходимо использовать последующее квадрупольное излучение. Так?

[Munin]

Приближения годятся в тех условиях, для которых они выведены.

Придётся решить полную систему уравнений (Максвелла + механики), возможно, как ряд поправок к "наивному школьному" решению.

-- 20.11.2018 23:12:37 --

Скажите, как вы себе представляете, что такое дипольное излучение и что такое квадрупольное излучение?

[reterty]

Munin в сообщении #1355490 писал(а):

Приближения годятся в тех условиях, для которых они выведены.

Придётся решить полную систему уравнений (Максвелла + механики), возможно, как ряд поправок к "наивному школьному" решению.

-- 20.11.2018 23:12:37 --

Скажите, как вы себе представляете, что такое дипольное излучение и что такое квадрупольное излучение?

дипольное излучение - за счет осциллирующего во времени дипольного момента системы зарядов. Квадрупольное - за счет
осцилляций квадрупольного момента.
Правда смущает, что в начальный момент времени расстояние между зарядами бесконечно велико и приближение малости
отношения размеров системы к длине волны явно не выполняется

[Munin]

Хорошо, и каковы для этой системы дипольный и квадрупольный моменты?

И как вы оценивание длину волны?

[realeugene]

Дипольного излучения тут очевидно нет просто потому, что задача симметрична. По той же причине нет и магнитного поля на прямой, соединяющей электроны. Кроме того, электроны летят симметрично относительно центра. На каждый электрон действует только электрическое поле от второго электрона, которое можно было бы найти, если бы мы знали уравнение движения этого второго электрона. Но электроны движутся симметрично. Так что, можно записать одномерное дифференциальное уравнение с запаздыванием и пытаться его решить.

[reterty]

В принципе эта задача решена в ЛЛ, т.2 после параграфа 71 (см. задача №1).
Однако меня смущает, тот факт, что посчитана энергия радиационных потерь для волновой зоны,
тогда как поле существует и на близких расстояниях...

[AnatolyBa]

А та ли это задача? Там ведь предполагается нерелятивистская частица и строго кулоновское взаимодействие для закона движения

[EUgeneUS]

Смутно припоминаю, что была тема с точно таким же вопросом, где обсуждалась статья с каким-то новыми результатами по этой задаче.

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1355821 писал(а):

Смутно припоминаю, что была тема с точно таким же вопросом, где обсуждалась статья с каким-то новыми результатами по этой задаче.

Уважаемый EUgeneUS и другие участники форума, если Вы вспомните (по ключевым словам) какой это был топик или статья,
премного буду Вам благодарен (чтобы не "переизобретать" велосипед)

[reterty]

Уважаемые форумчане! "Приглядевшись попристальнее" к решениям задач в ЛЛ т.2
(см. задача 3 после параграфа 70 и задача 1 после параграфа 71) я обнаружил
что для расчета потерь на тормозное излучение используется закон сохранения
энергии, который эти потери и не учитывает. Т.е. считается, что эти потери гораздо меньше
суммарной начальной кинетической энергии электронов. Хотя, на мой взгляд можно было бы решать данную
задачу методом последовательных приближений. А каково Ваше мнение?

[mihiv]

reterty в сообщении #1356773 писал(а):

можно было бы решать данную
задачу методом последовательных приближений.

Фактически она так и решается: в первом приближении считают, что излучение не влияет на траекторию электрона, и при этом предположении находят излученную энергию. Эта энергия оказывается много меньше начальной энергии электрона. Другое дело, что этим приближением и ограничиваются.

[Munin]

Это если она оказывается.