Найти все функции....

[SharkAV]

Найти все непрерывные, положительные на отрезке $x\in [0,1]$ функции $f(x)$, для которых:
\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 f(x) dx &=& 1,\\ \int\limits_0^1 x f(x) dx &=& \alpha,\\ \int\limits_0^1 x^2 f(x) dx &=& \alpha^2 \end{eqnarray*}
для заданного действительного $\alpha$.

Честно говоря, особых идей нет. Есть очень большое подозрение, что таких функций не существует вообще, но доказать это пока не получается...

Попробовал проинтегрировать эти выражения по частям, то есть ввести функцию $F(x)=\int_0^x f(y) dy$ (непрерывная, положительная, растущая). Тогда условия выше записываются как
\begin{eqnarray} \int\limits_0^1 f(x) dx &=& F(1)=1,\\ \int\limits_0^1 x f(x) dx &=& 1-\int\limits_0^1 F(x) dx = \alpha, \\ \int\limits_0^1 x^2 f(x) dx &=& 1-2\int\limits_0^1 x F(x) dx = \alpha^2 \end{eqnarray}

Из второго выражения получается $0<\alpha<1$. Для того, чтобы $\alpha>\alpha^2$ из (2) и (3) необходимо
$$\int\limits_0^2 (2x-1)F(x) >0,$
но это справедливо для любых растущих $F(x)$.

Также из (2) и (3) следует
\begin{eqnarray*}2\int_0^1 (1-x) F(x) dx = \left[\int F(x) dx\right]^2=\iint\limits_0^1 F(x) F(y) dx dy \end{eqnarray*}
и я попробовал доказать, что такого быть не может (по цепочке $2\int (1-x) F(x)dx>\iint F(x) dx dy > \iint F(x)F(y)dx dy$ или что-то вроде этого), но не прошло...

Может быть есть какие-нибудь более простые и очевидные идеи?

[Pphantom]

Есть немного странная идея. Допустим, что $f(x)$ - это плотность вероятности случайной величины. Тогда первый и второй интегралы имеют очевидный смысл, а третий - тоже достаточно очевидный, и из него можно сделать некоторый вывод о функции $f$...

[SharkAV]

Понятно, что их таких соображений $f(x)$ должно иметь сильный пик около $x=\alpha$, в идеале $f(x)=\delta(x-\alpha)$. Поскольку нам нужны гладкие функции, какая-то ширина у пика будет и за счет этой ширины третий интеграл оказывается немного больше $\alpha^2$. Но как доказать это строго пока не представляю

[mihaild]

Давайте я подскажу чуть дальше: предположив, что $f$ - плотность случайной величины, напишите ожидание и дисперсию этой величины.

[Nik_Nikols]

... или просто подсчитайте $\int\limits_0^1(x-\alpha)^2f(x)dx$

[Pphantom]

Ну, в общем, мой завуалированный совет уже изложили, так что зарежем правду-матку до конца : найдите дисперсию этого распределения и вспомните свойства дисперсии.

[SharkAV]

Ага, понял. Равная нулю дисперсия означает, что ширина этого пика равна нулю, та самая $f(x)=\delta(x-\alpha)$, а это противоречит условию непрерывности (да и вообще не совсем функция). Спасибо!