Опечатка в ЛЛ?

[topSC]

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика. В 10 томах. Том 09. Статистическая физика. Часть 2 Теория конденсированного состояния
Раздел "Сверхтекучесть". Параграф "Вырожденный почти идеальный бозе-газ".
Параграф 25, формула (25.9) (в издании 2004 года это страница 131) имеет вид

$$L_{\bold{p}}=\frac{1}{mu^2}\left(\sqrt{u^2p^2+\left(\frac{p^2}{2m}\right)^2} -\frac{p^2}{2m}-mu^2 \right).$$

А вот, что вышло у меня:

$$\hat{H}=\frac{U_0N^2}{2V}+\sum_{\bold{p}} \frac{p^2}{2m}\hat{a}_{\bold{p}}^+\hat{a}_{\bold{p}}+\frac{U_0N}{2V}\sum_{{\bold{p}}\ne 0} \left(\hat{a}_{\bold{p}} \hat{a}_{-{\bold{p}}}+\hat{a}_{\bold{p}}^+ \hat{a}_{-\bold{p}}^+ +2\hat{a}_{\bold{p}}^+ \hat{a}_{\bold{p}} \right)$$

$$\hat{H}=\sum_{{\bold{p}}} \frac{p^2}{2m}\hat{a}_{\bold{p}}^+\hat{a}_{\bold{p}}+ \frac{U_0N}{V}\sum_{{\bold{p}}\ne 0}\hat{a}_{\bold{p}}^+ \hat{a}_{\bold{p}} +\frac{U_0N}{2V}\sum_{\bold{p}\ne 0} \left(\hat{a}_{\bold{p}} \hat{a}_{-\bold{p}}+\hat{a}_{\bold{p}}^+ \hat{a}_{-\bold{p}}^+\right)+\frac{U_0N^2}{2V}$$

Боголюбовские преобразования:

$$\hat{a}_{\bold{p}}=u_{\bold{p}} \hat{b}_{\bold{p}} +v_{\bold{p}} \hat{b}_{-\bold{p}}^+, \quad \hat{a}_{\bold{p}}^+=u_{\bold{p}} \hat{b}_{\bold{p}}^++v_{\bold{p}} \hat{b}_{-\bold{p}},$$

где $u_{\bold{p}}, v_{\bold{p}} \in \mathbb{R}$ и $[\hat{b}_{\bold{p}},\hat{b}_{\bold{p}'}]=0, \, [\hat{b}_{\bold{p}}, \hat{b}_{{\bold{p}}'}^+]=\delta_{{\bold{p}} {\bold{p}}'}.$

$$\hat{a}_{\bold{p}} {\hat{a}_{\bold{p}}}^+=u_{\bold{p}}^2 \hat{b}_{\bold{p}} {\hat{b}_{\bold{p}}}^+ +u_{\bold{p}} v_{\bold{p}} \hat{b}_{\bold{p}} \hat{b}_{-\bold{p}}+v_{\bold{p}} u_{\bold{p}} \hat{b}_{-\bold{p}}^+ {\hat{b}_{\bold{p}}}^+ +v_{\bold{p}}^2 \hat{b}_{-\bold{p}}^+ \hat{b}_{-\bold{p}}$$

$${\hat{a}_{\bold{p}}}^+ \hat{a}_{\bold{p}}=u_{\bold{p}}^2 {\hat{b}_{\bold{p}}}^+ \hat{b}_{\bold{p}} +u_{\bold{p}} v_{\bold{p}} {\hat{b}_{\bold{p}}}^+ \hat{b}_{-\bold{p}}^+ +v_{\bold{p}} u_{\bold{p}} \hat{b}_{-\bold{p}} \hat{b}_{\bold{p}} +v_{\bold{p}}^2 \hat{b}_{-\bold{p}} \hat{b}_{-\bold{p}}^+$$

$$\hat{a}_{\bold{p}} {\hat{a}_{\bold{p}}}^+ - {\hat{a}_{\bold{p}}}^+ \hat{a}_{\bold{p}} =u_\bold{p}^2[\hat{b}_{\bold{p}}, \hat{b}_{-\bold{p}}^+]+u_{\bold{p}} v_{\bold{p}} [\hat{b}_{\bold{p}}, \hat{b}_{-\bold{p}}]+u_{\bold{p}} v_{\bold{p}} [\hat{b}_{-\bold{p}}^+, {\hat{b}_{\bold{p}}}^+]+v_{\bold{p}}^2 [\hat{b}_{-\bold{p}}^+, \hat{b}_{-\bold{p}}]=u_{\bold{p}}^2-v_{\bold{p}}^2=1$$

$$\frac{v_{\bold{p}}}{u_{\bold{p}}}=L_{\bold{p}}, \, \frac{1}{u_{\bold{p}}^2}=\sqrt{1-L_{\bold{p}}^2} \Rightarrow \hat{a}_{\bold{p}}=\frac{\hat{b}_{\bold{p}}+L_{\bold{p}} \hat{b}_{-\bold{p}}^+}{\sqrt{1-L_{\bold{p}}^2}}, \, {\hat{a}_{\bold{p}}}^+=\frac{\hat{b}_{\bold{p}}^+ +L_{\bold{p}} \hat{b}_{-\bold{p}}}{\sqrt{1-L_{\bold{p}}^2}}$$

$${\hat{a}_{\bold{p}}}^+ \hat{a}_{\bold{p}}=\frac{1}{1-L_{\bold{p}}^2}\left({\hat{b}_{\bold{p}}}^+\hat{b}_{\bold{p}}+L_{\bold{p}}{\hat{b}_{\bold{p}}}^+\hat{b}_{-\bold{p}}^++L_{\bold{p}}\hat{b}_{-\bold{p}}\hat{b}_{\bold{p}}+L_{\bold{p}}^2\hat{b}_{-\bold{p}}\hat{b}_{-\bold{p}}^+ \right)$$

$$\hat{a}_{\bold{p}} \hat{a}_{-\bold{p}}=\frac{1}{1-L_{\bold{p}}^2}\left(\hat{b}_{\bold{p}}\hat{b}_{-\bold{p}}+L_{-\bold{p}}\hat{b}_{\bold{p}}\hat{b}_{\bold{p}}^++L_{\bold{p}}\hat{b}_{-\bold{p}}^+\hat{b}_{-\bold{p}}+L_{\bold{p}} L_{-\bold{p}} \hat{b}_{-\bold{p}}^+{\hat{b}_{\bold{p}}}^+ \right)$$

$${\hat{a}_{\bold{p}}}^+ \hat{a}_{-\bold{p}}^+=\frac{1}{1-L_{\bold{p}}^2}\left({\hat{b}_{\bold{p}}}^+\hat{b}_{-\bold{p}}^++L_{-\bold{p}}{\hat{b}_{\bold{p}}}^+\hat{b}_{\bold{p}}+L_{\bold{p}}\hat{b}_{-\bold{p}}\hat{b}_{-\bold{p}}^++L_{\bold{p}} L_{-\bold{p}} \hat{b}_{-\bold{p}}\hat{b}_{\bold{p}} \right)$$

Нам нужно уничтожить ${\hat{b}_{\bold{p}}}^+ \hat{b}_{-\bold{p}}^+$ и $\hat{b}_{-\bold{p}} \hat{b}_{\bold{p}}$ члены.

$$\left(\left(\frac{p^2}{2m}+\frac{NU_0}{V}\right)L_{\bold{p}}+L_{\bold{p}}^2 +\frac{NU_0}{2V}\right){\hat{b}_{\bold{p}}}^+ \hat{b}_{-\bold{p}}^+=0$$

$$\left(\left(\frac{p^2}{2m}+\frac{NU_0}{V}\right)L_{\bold{p}}+\frac{NU_0}{2V}+L_{\bold{p}}^2 \right)\hat{b}_{-\bold{p}} \hat{b}_{\bold{p}}=0$$

$$L_{\bold{p}}^2+\left(\frac{p^2}{2m}+\frac{NU_0}{V}\right)L_{\bold{p}}+\frac{NU_0}{2V}=0$$

Пусть $u=\sqrt{\frac{U_0N}{mV}}$, тогда

$$L_{\bold{p}}^2+2\left(\frac{p^2}{4m}+\frac{mu^2}{2} \right)L_{\bold{p}}+\frac{mu^2}{2}=0$$

$$D=\left(\frac{p^2}{4m}+\frac{mu^2}{2} \right)^2-\frac{mu^2}{2}$$

$$L_{\bold{p}}=\sqrt{\left(\frac{p^2}{4m}+\frac{mu^2}{2} \right)^2-\frac{mu^2}{2}}-\frac{p^2}{4m}-\frac{mu^2}{2}$$

[mihiv]

topSC в сообщении #1355107 писал(а):

$$\left(\left(\frac{p^2}{2m}+\frac{NU_0}{V}\right)L_{\bold{p}}+L_{\bold{p}}^2 +\frac{NU_0}{2V}\right){\hat{b}_{\bold{p}}}^+ \hat{b}_{-\bold{p}}^+=0$$

Перед $L_{\bold p}^2$ не хватает множителя с размерностью энергия.