Индуктивность катушки от числа витков

[Kiev]

Как получается, что индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков?

$$ L = N^2 L_0 $$

где $L_0$ -- индуктивность одного витка.

Рассуждения:
Если есть N магнитных моментов, то сумма магнитных моментов пропорционально N, а потоки от каждого момента дают суммарный поток пропорционально N.

$ \Phi_0 = \mu_0 I_0 S $

$ \Phi = \sum\limits^N M_0 = N \mu_0 I_0 S $

Индуктивность это пропорциональность между потоком и током, и можно считать что суммарный поток формируется суммой токов $ I = \sum\limits^N I_0 $, а значит индуктивность одного витка равна индуктивности N витков.

$$ L = \frac{\Phi }{I} = \frac{ N \mu_0 I_0 S} {N I_0} = \mu_0 S $$

Индуктивность одного витка:

$$ L_0 = \frac{\Phi_0 }{I_0} = \mu_0 S $$

Попытки решения:

1) Последовательное соединение витков.
Можно конечно предположить, что катушка это не сумма магнитных моментов, а некоторое последовательное их соединение, при котором увеличивается длина проводника в N раз, а значит растёт сопротивление, а значит ток снижается в N раз:

$$ \Phi = \sum\limits^N \Phi_0 = N \Phi_0 = L \frac{I_0}{N} \;\;\;\; \Rightarrow \,\,\,\, L = N^2 L_0 $$

Но здесь проблема, что у витка с током в идеальном случае нет сопротивления, а значит нет никакой длинны и снижения тока в $N$ раз. :(

2) Взаимная индукция.
При сближении двух одинаковых витков с током, каждый виток создаёт взаимные потоки в другом.

$$ \Phi_1 = B_1 S_1 + B_2 S_1 $$

$$ \Phi_2 = B_2 S_2 + B_1 S_2 $$

$B_1 S_1 = B_2 S_2$
$ B_1 = B_2 = B_0 $ -- симметрия,
$ S_1 = S_2 = S $.

Сумма потоков:

$$ \Phi = \Phi_1 + \Phi_2 = 2 B_0 S + B_2 S_1 + B_1 S_2 = 4 B_0 S = 4 \Phi_0 $$

где

$$ \Phi_0 = B_1 S = B_0 S $$

- изолированный поток.

То есть, $ \Phi = \sum\limits^N \Phi_0 = N^2 \Phi_0 $
Если токи не суммируются, то есть через катушку идёт такой же ток, как через один виток $ I_0 $.

$$ N^2 \Phi_0 = L I_0 $$

То получаем:

$$ L = N^2 L_0 $$

Подскажите, как получают квадратичную зависимость?

[realeugene]

Достаточно просто воспользоваться определением индуктивности. Только не забыть, что в этом определении упомянут магнитный поток через контур, ограниченный проводником, а не просто поток через катушку. Если вы построите этот контур с границей на проводнике, поток через катушку пересечёт его $N$ раз. На каждом витке провода к этой поверхности добавляется ещё одна поверхность, покрывающая внутренность катушки. Т. е., в результате, магнитный поток через этот контур в $N$ раз больше потока через катушку. Кроме того, магнитное поле через катушку является суммой магнитных полей от всех $N$ витков с этим током, т. е. оно в $N$ раз больше магнитного поля, создаваемого одним витком. Отсюда и $N^2$.

[DimaM]

Kiev в сообщении #1354850 писал(а):

Как получается, что индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков?

$$ L = N^2 L_0 $$

где $L_0$ -- индуктивность одного витка.

Никак не получается. Это неверная формула.
Вычислить индуктивность отдельного витка - нетривиальная и достаточно трудная задача.

-- 18.11.2018, 18:48 --

realeugene в сообщении #1354923 писал(а):

Кроме того, магнитное поле через катушку является суммой магнитных полей от всех $N$ витков с этим током, т. е. оно в $N$ раз больше магнитного поля, создаваемого одним витком.

Вы, по-моему, вводите человека в заблуждение (ну или рассматриваете катушку, у которой высота много меньше диаметра). Обычно все же катушкой называют конструкцию с противоположным соотношением размером.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1354927 писал(а):

Обычно все же катушкой называют конструкцию с противоположным соотношением размером.

То, что вы упомянули, называют "соленоид".

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1354927 писал(а):

Вычислить индуктивность отдельного витка - нетривиальная и достаточно трудная задача.

Тем не менее, индуктивность одного витка является характеристикой ферромагнтных материалов. Точнее, не материалов, а конкретных типоразмеров конкретных марок материалов.

Kiev в сообщении #1354850 писал(а):

Подскажите, как получают квадратичную зависимость?

Примерно, как Вы и написали.
Важно понимать вот что: квадратичная зависимость получается при некоторой идеализации - 100% магнитосцеплении. То есть 100% магнитного потока от одного любого витка проходят через каждый другой виток.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1354939 писал(а):

То, что вы упомянули, называют "соленоид".

Это конструкция, индуктивность которой реально посчитать студенту.

EUgeneUS в сообщении #1354947 писал(а):

Тем не менее, индуктивность одного витка является характеристикой ферромагнтных материалов. Точнее, не материалов, а конкретных типоразмеров конкретных марок материалов.

Я пока что вообще не вижу связи между индуктивностью отдельного витка и ферромагнитными материалами.
Для справки приведу формулу индуктивности кольца радиуса $b$, сделанного из провода радиуса $a\ll b$ (Батыгин и Топтыгин, СГС)

$$L=4\pi b\left(\ln\frac{8b}{a}-\frac{7}{4}\right).$$

[realeugene]

DimaM в сообщении #1354950 писал(а):

Это конструкция, индуктивность которой реально посчитать студенту.

Конечной длины?

[Kiev]

DimaM в [url=/post1354927.html#p1354927]сообщении #1354927[/url] писал(а):

Kiev в сообщении #1354850 писал(а):

Как получается, что индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков?

$$ L = N^2 L_0 $$

где $L_0$ -- индуктивность одного витка.

Никак не получается. Это неверная формула.
Вычислить индуктивность отдельного витка - нетривиальная и достаточно трудная задача.

То есть вы хотите сказать, что нет квадратичной зависимости от числа витков, при объединения витков в катушку?
Какая тогда зависимость от числа витков линейно от числа $ N $, как просто сумма?

Про квадратичную зависимость объединения витков в катушку я взял из Википедии, статья: Индуктивность, 4. Индуктивность одновиткового контура и индуктивность катушки.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0 ... 0%BA%D0%B8

Точное значение для индуктивности я пытался вычислить, получил неберущиеся интегралы, которые видимо решаются численно.
После чего взял приближающую зависимость $ B (r) $.
Вычислил интеграл

$$ L_0 = \frac{1}{I_0} \int B(r) ds $$

, таким образом получил выражение для индуктивности одного витка.

После чего представляю катушку как сумму одиночных витков.
Однако столкнулся с некоторым проблемами применения данной формулы $ L_0 $. Из чего решил что зависимость $L$ от $N$, не просто сумма.

[DimaM]

Kiev в сообщении #1354952 писал(а):

То есть вы хотите сказать, что нет квадратичной зависимости от числа витков, при объединения витков в катушку?
Какая тогда зависимость от числа витков линейно от числа $ N $, как просто сумма?

Есть, но индуктивность катушки и индуктивность отдельного витка связаны так, как написано у вас, только если высота катушки много меньше ее диаметра.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1354950 писал(а):

Я пока что вообще не вижу связи между индуктивностью отдельного витка и ферромагнитными материалами.

Цитата:

AL(nH) Коэффициент индуктивности (одновитковая индуктивность)
Индуктивность катушки на определенном сердечнике, деленная на квадрат числа витков

Приводится в справочниках по ферромагнитным материалам (в привязке к конкретным типоразмерам).

Kiev
Если Вы проследите ход Ваших рассуждений\вычислений, то увидите, что используется (явно или не явно) условие: магнитный поток от одного витка полностью проходит через каждый другой виток. В реальном мире
а) это может выполняться приближенно, и с хорошей точностью - тогда зависимость индуктивности от количества витков можно считать квадратичной.
б) для некоторых геометрий катушек это может выполняться приближенно, но характер зависимости остается квадратичным, например, для "толстой катушки".
в) для некоторых геометрий катушек может приводить к неточной формуле для индуктивности. Например, если мы смотаем провод в соленоид, то его индуктивность будет пропорциональная количеству витков в квадрате, а значит квадрату длины провода. Далее начинаем вытягивать соленоид в прямой провод, а у прямого провода зависимость индуктивности от длины уже не квадратичная.

[Kiev]

DimaM в [url=/post1354953.html#p1354953]сообщении #1354953[/url] писал(а):

Kiev в сообщении #1354952 писал(а):

То есть вы хотите сказать, что нет квадратичной зависимости от числа витков, при объединения витков в катушку?
Какая тогда зависимость от числа витков линейно от числа $ N $, как просто сумма?

Есть, но индуктивность катушки и индуктивность отдельного витка связаны так, как написано у вас, только если высота катушки много меньше ее диаметра.

Да, при получении (в первом сообщении), квадратичной зависимости от числа витков $ N $, при объединении идеальных витков в идеальную катушку, я пренебрегаю размерам витков и соответственно размерами катушки из этих идеальных витков.
Мне просто хотелось понять, откуда берётся квадратичная зависимость от $N$ при объединении идеальных витков в "катушку".
Это взаимоиндукция идеальных витков?

-- 18.11.2018, 15:06 --

realeugene в [url=/post1354923.html#p1354923]сообщении #1354923[/url] писал(а):

Если вы построите этот контур с границей на проводнике, поток через катушку пересечёт его $N$ раз. На каждом витке провода к этой поверхности добавляется ещё одна поверхность, покрывающая внутренность катушки. Т. е., в результате, магнитный поток через этот контур в $N$ раз больше потока через катушку. Кроме того, магнитное поле через катушку является суммой магнитных полей от всех $N$ витков с этим током, т. е. оно в $N$ раз больше магнитного поля, создаваемого одним витком. Отсюда и $N^2$.

Понятно, то есть из-за взаимоиндукции.
Это скорее более понятно на двух витках, нежели чем для $ N $.
Спасибо.

[realeugene]

Kiev в сообщении #1354959 писал(а):

Это взаимоиндукция идеальных витков?

Нет, если вы рассматриваете индуктивность одной катушки целиком. У вас один общий контур, а не два контура. В котором ни один виток сам по себе не является замкнутым контуром. Поэтому, на мой взгляд, про взаимоиндукцию витков тут лучше не рассуждать.

[Kiev]

EUgeneUS в [url=/post1354947.html#p1354947]сообщении #1354947[/url] писал(а):

Kiev в сообщении #1354850 писал(а):

Подскажите, как получают квадратичную зависимость?

Примерно, как Вы и написали.
Важно понимать вот что: квадратичная зависимость получается при некоторой идеализации - 100% магнитосцеплении. То есть 100% магнитного потока от одного любого витка проходят через каждый другой виток.

Да конечно, коэффициент связи идеальных контуров, у меня равен 1. Просто я пытался понять логику получения квадратичной зависимости от числа витков $N$.

-- 18.11.2018, 15:13 --

realeugene в [url=/post1354964.html#p1354964]сообщении #1354964[/url] писал(а):

Kiev в сообщении #1354959 писал(а):

Это взаимоиндукция идеальных витков?

Нет, если вы рассматриваете индуктивность одной катушки целиком. У вас один общий контур, а не два контура. В котором ни один виток сам по себе не является замкнутым контуром. Поэтому, на мой взгляд, про взаимоиндукцию витков тут лучше не рассуждать.

Можно ли аналог катушки, составить из идеальных несвязных (общим током) контуров расположенных на близком расстоянии друг от друга?
Если да, то получаем взаимоиндукцию и эффект квадратичной зависимости общей индуктивности от числа контуров (витков).

-- 18.11.2018, 15:33 --

EUgeneUS в [url=/post1354957.html#p1354957]сообщении #1354957[/url] писал(а):

Kiev
Если Вы проследите ход Ваших рассуждений\вычислений, то увидите, что используется (явно или не явно) условие: магнитный поток от одного витка полностью проходит через каждый другой виток. В реальном мире
а) это может выполняться приближенно, и с хорошей точностью - тогда зависимость индуктивности от количества витков можно считать квадратичной.
б) для некоторых геометрий катушек это может выполняться приближенно, но характер зависимости остается квадратичным, например, для "толстой катушки".
в) для некоторых геометрий катушек может приводить к неточной формуле для индуктивности. Например, если мы смотаем провод в соленоид, то его индуктивность будет пропорциональная количеству витков в квадрате, а значит квадрату длины провода. Далее начинаем вытягивать соленоид в прямой провод, а у прямого провода зависимость индуктивности от длины уже не квадратичная.

Да я взял 100%-й коэффициент связи витков по полю, то есть бесконечно близко их сблизил (наложил), при этом сказал что токи не суммируются (ток последовательный, как и в катушке).

Мне главное было понять, логику происхождения $ L $ ~ $N^2$ в идеальном случае.

-- 18.11.2018, 15:55 --


Простое объяснение зависимости $L$ ~ $ N^2 $

У изолированных витков с током есть только - самоиндукция.
У связных (в катушку) витков появляется и взаимоиндукция.

И сумма Самоиндукций и Взаимоиндукций даёт $ N^2 $.
В отличии от суммы Самоиндукций которые дают только $ N $.

[10mV]

Kiev в сообщении #1354965 писал(а):

Простое объяснение зависимости $L$ ~ $ N^2 $

Вроде уже сказали, что такая зависимость - идеализация. Если витки охватывают строго один контур, то поле, созданное катушкой при одном токе, пропорционально $N$.
А ЭДС, возникающая в катушке при изменении тока, еще раз пропорциональна $N$. Значит в итоге ЭДС (и соответственно индуктивность) ~ $ N^2 $.
В реальной катушке посчитать сложно и вообще говоря это не выполняется.

[Kiev]

10mV в [url=/post1354985.html#p1354985]сообщении #1354985[/url] писал(а):

Kiev в сообщении #1354965 писал(а):

Простое объяснение зависимости $L$ ~ $ N^2 $

Вроде уже сказали, что такая зависимость - идеализация.
Если витки охватывают строго один контур, то поле, созданное катушкой при одном токе, пропорционально $N$.

Я и не скрывал что это идеализация, -- упрощение.
Это приближение, когда радиус контура намного больше толщины диаметра провода ($ d \ll R $).
Да, взаимоиндукция предполагает близкое, но не равное нулю расстояние между контурами.

Да, при слиянии N контуров в один, получим один контур с током $ N I_0 $. Это было написано в начале первого сообщения "Рассуждение".

10mV в [url=/post1354985.html#p1354985]сообщении #1354985[/url] писал(а):

А ЭДС, возникающая в катушке при изменении тока, еще раз пропорциональна $N$.

Никакого ЭДС у нас нет, статика, нет изменений во времени, только токи, или даже моменты.

10mV в [url=/post1354985.html#p1354985]сообщении #1354985[/url] писал(а):

А в реальной катушке посчитать сложно и вообще говоря это не выполняется.

Мне достаточно оценки, слишком большая точность не требуется.
Должно выполняться, только с коэффициентом связи меньше 1.