Похожесть двух функций

[Sicker]

Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x-s)$, причем они в каком то смысле по форме похожи. Задача состоит в нахождении такого $s$, чтобы функции как бы максимально совпадали друг с другом. Я считаю, что такое $s$ можно найти из максимума интеграла $\int f(x) \ln g(x-s)dx$. Такая штука известна и где-нибудь использовалась?

[demolishka]

Прежде чем решать задачу, нужно уточнить классы функций $f$ и $g$ и меру "похожести". Тогда можно о чем-то говорить.

Вот Вам пример, когда задача не имеет решения в классе ограниченных на $\mathbb{R}$ функций с равномерной метрикой. Возьмем $g(t)=\sin(t)+\sin(\sqrt{2}t)$ и $f(t)=\sin(t+\varkappa_{1})+\sin(\sqrt{2}t + \varkappa_{2})$, где $\varkappa_{1},\varkappa_{2} \in [0,2\pi)$ - произвольные заданные числа отличные и пара $(\varkappa_{1},\varkappa_{2})$ отлична от пары $(t, \sqrt{2} t){\pmod 2\pi}$. Тогда для некоторой последовательности $s_{n} \to +\infty$ имеем, что $g(t + s_{n})$ сходится к $f(t)$ при $n \to \infty$ равномерно по $t$. Более того, ни с какой ограниченной последовательностью этого приближения сделать нельзя (т. к. пара $(\varkappa_{1},\varkappa_{2})$ отлична от пары $(t, \sqrt{2} t) \pmod{2\pi}$). Поэтому никакого максимума нет, сдвиги $g$ на произвольно большие числа сколь угодно близко приближают $f$ в равномерной метрике.

[mihaild]

Фактически этот интеграл и предлагает похожесть (правда метрикой она не является). Но минимум не обязан достигаться. Возьмем, например, $f(x) = g(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \cdot \mathbb{I}_{[2; \infty)}$.

[dsge]

Sicker в сообщении #1354426 писал(а):

Такая штука известна и где-нибудь использовалась?

Не совсем так, но какие-то подобные ассоциации дает метрика Скорохода
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Skorokhod_topology

[mihaild]

dsge в сообщении #1354467 писал(а):

Не совсем так, но какие-то подобные ассоциации дает метрика Скорохода

Тогда уж кросс энтропия.

[dsge]

mihaild в сообщении #1354476 писал(а):

Тогда уж кросс энтропия
.

Может быть, но ТС не указал какое пространство функций ему надо.