Доказать, что простое число равно 2 или 3

[Ktina]

Доказать, что если степень простого числа с натуральным показателем представима в виде суммы двух кубов натуральных чисел, то это простое число равно 2 или 3.

[JohnDou]

(Решение)

$p^n=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\implies (a+b)=p^x\wedge (a^2-ab+b^2)=(a+b)^2-3ab=p^{2x}-3ab=p^y\implies p^{2x}-p^y=3ab$
теперь рассмотрим несколько случаев:
0)$y>0, 3\vdots p$ тут всё понятно.

1)$y=0 \implies a^2-ab+b^2=1\implies a=b=1$
т.к. $a\ne b \implies a^2-ab+b^2> (a-b)^2\geq1$

2)$y>0, a\vdots p \implies b\vdots p \implies p^n \vdots p^3$ и тогда мы можем разделить всё выражение на $p^3$, и пробежаться по всем случаям ещё раз

[Ktina]

JohnDou
Большое спасибо!