2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 13:08 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Когда квадрат равен кубу, надо вызывать велослесаря спеца по эллиптическим кривым :idea:

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 14:31 


03/03/12
1380
leweekend в сообщении #1353143 писал(а):
Пока вижу только это:
$(2n-1)(2n+1) - (2k-1)(2k+1)(2k+3) = \pm2018$
$(4n^2-1) - (4k^2-1)(2k+3) = \pm2018 $


$2k=k_1$
$k_1^3+4k_1^2-k_1^2-k_1-4(n^2-1)\pm2018=0$
$k_1^2+k_1+4m\pm2018=0$
$k_1=\frac{-1\pm\sqrt{1-4(4m\pm2018)}}{2}$
$1-4(4m\pm2018)=p^2$
$p-1=8q$
Противоречие?
Или $p+1=8q_1$
$(k_1)$ может содержать только одну двойку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 18:00 


03/03/12
1380
TR63 в сообщении #1353292 писал(а):
Противоречие?

Нет.
$p-1=4q$ (здесь выше была ошибка, т.к. под корнем стоит $(p^2)$, а не $(p^2-1)$).
Интересно, что тогда $(p+1)$ имеет одну двойку; а надо две? Не проверяла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 19:09 


21/05/16
4292
Аделаида
waxtep в сообщении #1353273 писал(а):
спеца по эллиптическим кривым

maxal и Руст?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение12.11.2018, 02:39 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
kotenok gav в сообщении #1353364 писал(а):
waxtep в сообщении #1353273 писал(а):
спеца по эллиптическим кривым

maxal и Руст?

Не только maxal и Руст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение12.11.2018, 11:05 


26/08/11
2057
$(x-1)(x+1)-(y-2)y(y+2)=2018$

x-четное, не делящееся на 3,$y\equiv 1\pmod 4$

$x^2+36^2=(y+15)(y^2-15y+221)$

Сумма двух квадратов не имеет делитель вида $4k-1$, каким является второй множитель правой части.
(Точнее, мог бы иметь, если и $x$ и $36$ имели такой общий делитель, но $x$ на 3 не делится)

-- 12.11.2018, 10:52 --

Ой нет. $x$ как раз на 3 делится. $x=6k$ Получается $36(k^2+36)=(y+15)(y^2-15y+221)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение12.11.2018, 12:29 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Deleted

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение12.11.2018, 12:32 


26/08/11
2057
Но все равно, раз $y^2-15y+221\equiv -1 \pmod 4$ должно выполняться

$\\y^2-15y+221=3(4k+1)\\
y+15=3n$

что невозможно

-- 12.11.2018, 11:37 --

JohnDou я вас (и себя) заблудил. В случае $x$ как раз делится на 6. Просто произведение $(x-1)(x+1)$ должно не делится на 3, вот и осталось в голове только "не делится на 3"

По конкретному модулю противоречие может и получится, может и нет, не проверял, но то, что сумма квадратов имеет делитель вида $4k-1$ только при определенных условиях - помогает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение12.11.2018, 14:10 


26/08/11
2057
Конкретнее:
У нас равенство $x^2+36^2=(y+15)(y^2-15y+221)$
Согласно теореме Ферма — Эйлера и ее следствия, сумма двух квадратов $a^2+b^2$ может иметь простой делитель вида $p=4k+3$ только в четной степени, причем только если и $a$, и $b$ делятся на $p$.

Так как $y\equiv 1\pmod 4$, то $y^2-15y+221\equiv 3 \pmod 4$, тоесть, этот сомножитель имеет хотя бы один простой делитель вида $4k+3$ в нечетной степени. Значит и $y+15$ должен иметь тот же делител $p$ в нечетной степени (чтобы в произведении степень получилась четная) и еще и $x$, и $36$ делились на $p$ Но у 36 только один простой делител вида $4k+3$ - это 3. Выходит и $y+15$ и $y^2-15y+221$ должны делится на 3, но это невозможно.

Надеюсь, никого больше не зафлудил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение12.11.2018, 21:49 


03/03/12
1380
$(2n-1)(2n+1) - (2k-1)(2k+1)(2k+3) = \pm2018$
$(4n^2-1) - (4k^2-1)(2k+3) = \pm2018 $
$2k=k_1$
$k_1^3+4k_1^2-k_1^2-k_1-4(n^2-1)\pm2018=0$
Очевидно, что $(k_1)$ содержит только одну двойку. Тогда должно выполняться условие:
$k_1^2+k_1+4m\pm2018=0$
Обозначим
$a_3=4(n^2-1)\pm2018$
$b_3=4m\pm2018$(я уравнение второй степени записала в виде $b_0k_1^3+b_1k_1^2+b_2k_1+b_3=0$, $b_0=0$)
Чтобы $(k_1)$ было общим корнем, необходимо равенство нулю результанта. Это долго (если считать вручную), но в итоге получаем квадратное уравнение с не положительным дискриминантом. Т.е. он должен равняться нулю. Это возможно только при условии $2b_3=a_3$. Это не возможно, т.к. количество двоек разное. Т.е. имеем противоречие.
Решение длинное (чисто механическое). Главное, чтобы не было ошибок при Вычислении результанта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение12.11.2018, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
TR63 в сообщении #1353618 писал(а):
Главное, чтобы не было ошибок при Вычислении результанта
Ошибки при вычислении результата были. Во второй строке Вашего сообщения свободный член 2, а в четвёртой 4. И если Вы логику изначально строили на делимости на 4, то она рассыпалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение13.11.2018, 15:26 


03/03/12
1380
grizzly, Вы правы. Спасибо.
Действительно, в четвёртой строчке получается другое, не исходное уравнение (из-за невнимательности), которое с использованием результанта хорошо решается, хотя на вид страшное (но стоит перепроверить арифметику).
Для исходного уравнения тоже можно составить систему и вычислить результант. Но даст ли это результат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение13.11.2018, 16:44 


03/03/12
1380

(Оффтоп)

Система может иметь вид:

$k_1^3+3k_1^2-k_1-4(n^2-1)-2024=0$
$k_1^3-k_1-4(n^2-1)-2024-3m=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение13.11.2018, 21:20 


03/03/12
1380
grizzly в сообщении #1353632 писал(а):
И если Вы логику изначально строили на делимости на 4

Скорее на неделимости на $4$, уже потом использую делимость на $4$. Получается для моего уравнения (не исходного) делимость только на одну двойку (на $2\alpha$).
TR63 в сообщении #1353618 писал(а):
Очевидно, что $(k_1)$ содержит только одну двойку.

Почему так? На всякий случай, чтобы не было разночтений, поясняю:
$k_1^2+k_1=k_1(k_1+1)$ чётное; все слагаемые, кроме первого чётные, значит
$k_1^3$ чётное.
$(k_1)$ не может содержать более одной двойки, т.к. тогда $2018$ должно делится на четвёрку. Да, потом многочлен второй степени должен делится на $4$ (наверное, Вы здесь подразумеваете делимость на $4$).
Далее вычисляем результант (это определитель пятого порядка; но я записала через определитель шестого порядка, положив $b_0=0$; надеюсь, в этом нет криминала), и используем свойство неделимости на $4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение15.11.2018, 18:21 


03/03/12
1380
TR63 в сообщении #1353618 писал(а):
возможно только при условии $2b_3=a_3$.

К этому утверждению есть контрпример: $n=2$, $m=3$, $k_1=2$, вместо $2018$ взять в уравнении третьей степени (моём), например, $2$.
Значит, либо в рассуждениях ошибка, либо при вычислении результанта.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group