2+2=4

[-Дымка-]

Докажите, что два плюс два равно четыре
Это не шутка. А реальное задание в рамках курса история и методология математики.
Кто выручит?

---
Переношу в Междисциплинарный раздел. (dm)

[Гость]

Вопрос интересный. Имеем определения:

2 = 1+1; 3 = 2+1; 4 = 3+1

Докзательство:

2 + 2 = [по определению двух]
2 + (1+1) = [по ассоциативности]
(2+1)+1 = [по определению трех]
3 + 1 = [по определению четырех]
4

На самом деле, есть еще интересные вопросы, а что такое сложение, почему оно ассоциативно, и так далее. Между прочим, а что такое 1?

Одно из классических определений состоит в том, что 0 - это пустое множество, и определяется операция +1 (увеличить на один, не путать со сложением) как $x (+1) \leftrightharpoons \{x\} \cup x$. Равенство определяется в теоретико-множественном смысле. 1 по определению, 0(+1). Теперь надо определять сложение и доказывать его свойства...

[Magistr]

Цитата:

Между прочим, а что такое 1?

1 - это элемент кольца (поля), обладающий свойством 1*x=x.

[Magistr]

Кстати говоря, 2 + 2 не обязательно равно 4
И это тоже не шутка. Если рассмотреть поле с характеристикой 3, то 4 не получится...

[незваный гость]

Magistr писал(а):

1 - это элемент кольца (поля), обладающий свойством 1*x=x.

Шустры Вы, Magistr. Данная проблема разбирается в основаниях математики, где до колец еще пахать и пахать (Если уж зашла речь о кольцах, Вы конечно, можете задать любую аксиоматику, но вопрос - а откуда следует, что она непротиворечива? Что эквивалентно, что существует хотя бы один объект, обладающий такими свойствами. Построение фон Неймана - как раз обосновывает существование $\mathbb Z$ через теорию множеств). И уж коли речь зашла о том, что 2 + 2 равно 4, то молчаливо предполагается, что 4 определено. А тогда это равенство верно.

[Ikarus]

На мой взгляд, для того, чтобы доказать такое утверждение, необходимо указать базу аксиом. Я уж не говорю, что нужно указывать систему счисления.

[Pointer]

Для доказательства тезиса "2+2" равно "4" необходимо доказать тождественность всех свойств правой и левой его частей - операндов.

Представляется очевидным, что это не так. Как минимум, запись операнда "2+2" не совпадает с записью "4".

Таким образом, имеет смысл говорить не обо всех, а о некоторых, актуальных, свойствах.
Актуальность подразумевает зависимость от контекста. То есть, от модели, в которой используются свойства сравниваемых величин.

[Yuri Gendelman]

Pointer писал(а):

Для доказательства тезиса "2+2" равно "4" необходимо доказать тождественность всех свойств правой и левой его частей - операндов.

Представляется очевидным, что это не так. Как минимум, запись операнда "2+2" не совпадает с записью "4".

Еще и очевидно! Это ведь демагогия, милстгсдрь.
Следуя Вашей логике запись "4=4" тоже не верна, т.к. левая четверка левее, а правая - правее.

[bobyl]

Нет, это очень интересно. Может ли, действительно, за "актуальными свойствами", контекстом, моделью стоять какая-то отдельная, актуальная логика, менее сильная, чем логика "2 + 2 = 4"?

[Homo]

bobyl писал(а):

Нет, это очень интересно. Может ли, действительно, за "актуальными свойствами", контекстом, моделью стоять какая-то отдельная, актуальная логика, менее сильная, чем логика "2 + 2 = 4"?

Безусловно может! Например, так называемое "статистическое мышление" зиждится на том, что "дважды два равно чктырём только всреднем". Дело в том, что идентификация любого множества предполагает физическое измерение, а результат любого измерения - это интервал (см. любой учебник по "Метрологии"). Я уж не говорю о математической абстракции типа "нечёткое множество" ...

[Ratus]

Ikarus писал(а):

На мой взгляд, для того, чтобы доказать такое утверждение, необходимо указать базу аксиом. Я уж не говорю, что нужно указывать систему счисления.

Вот ведь единственная разумная мысль в этом обсуждении прозвучала, но как обычно к РАЗУМНЫМ мыслям никто не прислушивается. НУ конечно, если задаётся вопрос, то необходимо указать, что мы считаем "2"-ой, и что считаем "4"-ой. Потому как 2 пальца и 2 пальца - будет 4 пальца, "как ни крути" )
Но конечно, если мы говорим о множествах, да еще неопределенных .... да и еще систему отсчета произвольно выберем, да искривление пространства учтем .....
Ребятки ! Не будем переходить на дифференциальную систему исчисления, не надо. Все доказывается очень просто - если к 2 яблокам прибавить еще 2 яблока (и ни один из них не надкусывать;)) получится 4 яблока. Это даже не аксиоматично, это просто очевидно.

[naiv1]

Ratus писал(а):

Все доказывается очень просто - если к 2 яблокам прибавить еще 2 яблока (и ни один из них не надкусывать;)) получится 4 яблока.

И почему, интересно "получится 4 яблока", а не 5, например. Можете объяснить?

[Ratus]

naiv1 писал(а):

Ratus писал(а):

Все доказывается очень просто - если к 2 яблокам прибавить еще 2 яблока (и ни один из них не надкусывать;)) получится 4 яблока.

И почему, интересно "получится 4 яблока", а не 5, например. Можете объяснить?

Это очевидно, если Вы умеете считать до 4. Возьмите 2 яблока и прибавьте к ним еще два. Потом посчитайте - один, два, три, четыре. Без вариантов )
Вопрос такого рода звучит не корректно и я бы сказал не суразно. С таким же успехом можно спросить: "Если я считаю - одни, два, три, четыре. Откуда я знаю, что досчитал до 4, а не до 5." Бред на уровне серьезного расстройства психической деятельности.

[naiv1]

Последнее предложение не комментирую.

Мой вопрос был реакцией на фразу

Ratus писал(а):

Это даже не аксиоматично, это просто очевидно.

Не споря против очевидности "доказательства"

Ratus писал(а):

Это очевидно, если Вы умеете считать до 4. Возьмите 2 яблока и прибавьте к ним еще два. Потом посчитайте - один, два, три, четыре. Без вариантов )

хотелось бы спросить Вас и других участников:
действительно ли в этом рассуждениии не использовались какие-нибудь аксиомы для доказательства утверждения, что 2+2=4 или все-таки какие-то использовались, но неявным образом, интуитивно, или как Вы выражаетесь, способом "очевидно"?

[worm2]

naiv1 писал(а):

Ratus писал(а):

Это очевидно, если Вы умеете считать до 4. Возьмите 2 яблока и прибавьте к ним еще два. Потом посчитайте - один, два, три, четыре. Без вариантов )

хотелось бы спросить Вас и других участников:
действительно ли в этом рассуждениии не использовались какие-нибудь аксиомы для доказательства утверждения, что 2+2=4 или все-таки какие-то использовались, но неявным образом, интуитивно, или как Вы выражаетесь, способом "очевидно"?

Нет, в этом рассуждении никакие аксиомы, как и вообще никакая математика, не используются. Используется только личный опыт, включающий опыт счёта предметов, знание названий предметов ("яблоко") и абстрактных понятий ("два", "четыре"), правила русского языка, бытовая логика ("здравый смысл"). Математики здесь нет, хотя такие абстрактные понятия, как "два", "четыре" имеют хождение и в этой науке, но в данном рассуждении математические понятия не имеются в виду.