2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 актуальная бесконечность
Сообщение10.03.2006, 19:46 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
Я математик, мягко говоря, слабенький. Не могли бы те, кто знают получше, рассказать или подсоветовать простенькую, доступным языком написанную литературу, описывающую свойства бесконечности. Причем интересуют меня свойства не потенциальной, а актуальной бесконечности. В Энциклопедическом словаре прочитал, например, что $+\infty$ и $-\infty$ включают как "несобственные элементы системы действительных чисел". Что значит "несобственные", почему их включают именно в действительные числа? Каковы свойства $\infty$, включаемого в множество комплексных чисел? Кроме основных, конечно, которые я могу тут же в словаре подчерпнуть, вроде:
$\infty+a=\infty$, если $a$ конечное
$\infty+\infty$ не имеет смысла
$\infty\cdot a=\infty$ при $a\neq0$
$\infty\cdot 0$ не имеет смысла

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 23:09 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
На сколько я помню про несобственные числа говорили в матане и это относилось только к пределам и те правила которые вы написалли выражаются свойсвами приделов.

А есле вы будете смотреть на прямую как на топлогическое пространство то ни кто не мешает вам дабивать некую точку бесконечность и определить ее окрестности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2006, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Да ничего особенного тут нет. Просто для удобства (в основном - теории пределов) к множеству действительных чисел добавляются бесконечности. Это делается двумя способами.
1) Добавляется один элемент $\infty$, который называется проективной бесконечностью. Его $\varepsilon$-окрестности ($\varepsilon>0$) определяются как $O_{\varepsilon}(\infty)=\{x\in\mathbb R:|x|>\frac{1}{\varepsilon}\}\cup\{\infty\}$. С топологической точки зрения числовая прямая с добавленным элементом $\infty$ выглядит как окружность. Описанная окрестность на этой окружности выглядит как обычный интервал. Какие-либо неравенства для символа $\infty$ не определяются.
2) Добавляются два элемента $-\infty$ и $+\infty$, которые называются аффинными бесконечностями. Их $\varepsilon$-окрестности определяются как $O_{\varepsilon}(-\infty)=\{x\in\mathbb R:x<-\frac{1}{\varepsilon}\}\cup\{-\infty\}$ и $O_{\varepsilon}(+\infty)=\{x\in\mathbb R:x>\frac{1}{\varepsilon}\}\cup\{+\infty\}$. Числовая прямая с этими элементами превращается как бы в отрезок (с концевыми точками!). Естественно считать, что $-\infty<x<+\infty$ для всех $x\in\mathbb R$. Тогда $O_{\varepsilon}(-\infty)=[-\infty,-\frac{1}{\varepsilon})$ и $O_{\varepsilon}(+\infty)=(\frac{1}{\varepsilon},+\infty]$. В литературе довольно часто вместо $+\infty$ пишут просто $\infty$, хотя это можно рассматривать как неточность.
Бесконечные элементы называют несобственными, поскольку числами они не являются. Их арифметические свойства отражают свойства пределов. В полном объёме арифметические операции на них не переносятся, а в тех случаях, когда всё-таки переносятся, свойства поля действительных чисел на них не распространяются.

 Профиль  
                  
 
 Где находится линия горизонта? ;-)
Сообщение11.03.2006, 01:34 


22/06/05
164
Добавлю ещё зрительное описание.

Человек видит не мир, а изображение мира на сетчатке. Сильно идеализируя, будем говорить о центральной проекции на сферу. Если сфера находится над горизонтальной прямой, то в проекции получится открытая полуокружность. Две граничные точки на сетчатке - это и есть бесконечности (плюс и минус). На прямой соответствующих точек нет, а жаль (хочется компактности, абсолютного максимума и абсолютного минимума). Приходится ввести формальные значки и перенести на них те топологические и порядковые свойства, которыми обладают граничные точки на полуокружности.

При взгляде сверху на плоскость появляется целая куча бесконечностей: северная, западная, юго-восточная и т. д. Все вместе эти бесконечности образуют линию горизонта. (Так где же находится линия горизонта? :wink:)

Одноточечная бесконечность - это зрачок существа, которого зовут Колобок Римана. Этот Колобок внутри пустой, всю внутреннюю поверхность занимает сетчатка, а на всей шкуре лишь одно одноточечное отверстие (зрачок), через которое и входит свет.

Интересно, как этот Колобок относится к волновой природе света (может, photon знает ответ :wink:).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2006, 08:45 


19/01/06
179
таблицу для работы с бесконечностями можно посмотреть в книгах Натансон И.П. "Теория функц. веществ. переменной", глава IV, §1
П. Халмош "Теория меры", 1953, 7 стр.

Кстати, Егор
а как вы представляете себе "видеть мир" без сетчатки?

 Профиль  
                  
 
 Актуальная VS Потенциальная
Сообщение11.03.2006, 10:41 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
Someone писал(а):
Да ничего особенного тут нет. Просто для удобства (в основном - теории пределов) к множеству действительных чисел добавляются бесконечности. Это делается двумя способами.

Если бесконечность определяется как предел, то это потенциальная, а не актуальная бесконечность, если я правильно понял. А меня почему-то заинтересовала актуальная бесконечность. В том же Энциклопедическом словаре в разделе "Актуальная бесконечность" я читаю, что если множество натуральных чисел задается как $n_1=1$,$n_{i+1}=n_i+1$, то в этом множестве $+\infty$ рассматривается как потенциальная бесконечность, если же мы рассматриваем множество натуральных чисел как некую данность, независимо от механизма ее образования, то в этом случае $+\infty$ уже может быть включена как актуальная бесконечность. Хотя как правило рассматривают именно первый случай, и тогда актуальные $+\infty$ и $-\infty$ включаются только во множество действительных чисел - для них можно использовать операции сравнения, а $\infty$ не включается в действительные числа и включается только во множество комплексных чисел. Странно получается, что в зависимости от механизма образования множества, а не от самого множества его элементы $\pm\infty$ могут быть рассмотрены как актуальные и как потенциальные. А какая математикам разница, является бесконечность актуальной или потенциальной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Актальная VS Потенциальная
Сообщение11.03.2006, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
photon писал(а):
Если бесконечность определяется как предел, то это потенциальная, а не актуальная бесконечность, если я правильно понял.


В математике, вообще то, нет понятий актуальной или потенциальной бесконечности, это скорее философия. И я ничего не определял как предел. Я просто написал, что вводятся эти элементы, прежде всего, для удобства теории пределов.

photon писал(а):
... множество натуральных чисел ... $+\infty$


Обычно для множества натуральных чисел пишут $\infty$, поскольку $-\infty$ к натуральным числам явно отношения не имеет, а $+\infty$ и $\infty$ неразличимы.

photon писал(а):
$+\infty$ и $-\infty$ включаются только во множество действительных чисел - для них можно использовать операции сравнения, а $\infty$ не включается в действительные числа и включается только во множество комплексных чисел.


Да нет, оба способа используются, хотя аффинные бесконечности действительно встречаются чаще. Одно время даже стандарт на арифметику с плавающей точкой предусматривал оба варианта.

photon писал(а):
А какая математикам разница, является бесконечность актуальной или потенциальной?


Абсолютно никакой.

 Профиль  
                  
 
 спасибо
Сообщение11.03.2006, 11:01 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
Спасибо за некоторые разъяснения

 Профиль  
                  
 
 Re: Актальная VS Потенциальная
Сообщение11.03.2006, 11:02 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
photon писал(а):
Если бесконечность определяется как предел, то это потенциальная, а не актуальная бесконечность, если я правильно понял.

А какая математикам разница, является бесконечность актуальной или потенциальной?


Я бы объяснил это так. Потенциальная бесконечность - это не математический объект, а просто некоторое сокращенное обозначение, чтобы каждый раз не писать длинного определения. Мы просто сокращаем и вместо длинной фразы "для любого числа T>0 существует такой номер N(T), что для всех номеров n>N(T) выполнено x(n)>T" договариваемся писать кратко $x(n)\to +\infty$. Но все равно всегда помним, что это лишь сокращенное обозначение, упрощающее изложение, а подразумевается всегда указанная длинная фраза, в которой уже никакой бесконечности нет.

Во случае актуальной бесконечности мы вводим новый математический объект, называем его бесконечностью и наделяем его определенными свойствами, чтобы с этим объектом можно было работать. Например, к существующему топологическому пространству добавляем новую точку. Тогда нужно определить, что такое окрестности данной точки и как они связаны с элементами существующего топологического пространства, что и делается так, как написал Someone.

 Профиль  
                  
 
 to zkutch
Сообщение11.03.2006, 11:39 


22/06/05
164
zkutch писал(а):
Кстати, Егор
а как вы представляете себе "видеть мир" без сетчатки?

Не понял, откуда возник вопрос. В данной выше "зрительной интерпретации бесконечности" сетчатка есть. Чтобы увидеть всю плоскость и получить семейство бесконечностей в виде линии горизонта, идеальный глаз смотрит на плоскость сверху. Роговица глаза - нижняя полусфера, сетчатка - верхняя полусфера (вместе с экватором). Горизонтом будет экватор глаза.

О потенциальной и актуальной бесконечностях. Значок $\infty$ вместе с системой окрестностей - это потенциальная бесконечность. Актуальная бесконечность - это представление о бесконечном множестве как о совокупности одновременно существующих и чётко отделённых друг от друга объектов. В математике это означает свободное применение к бесконечным множествам классической логики - снятия двойного отрицания, законов де Моргана и т. п. Характерный пример работы с актуальной бесконечностью - "построение" сходящейся подпоследовательности в теореме Больцано-Вейерштрасса: "если на сегменте [0;1/2] лежит бесконечное число элементов последовательности, то перейдём к этому сегменту, иначе перейдём к сегменту [1/2;1]". Именно такую актуальную бесконечность не признают конструктивисты.

 Профиль  
                  
 
 Re: to zkutch
Сообщение11.03.2006, 12:14 


19/01/06
179
Егор писал(а):
Не понял, откуда возник вопрос.... идеальный глаз смотрит на плоскость сверху. Роговица глаза - нижняя полусфера, сетчатка - верхняя полусфера (вместе с экватором). Горизонтом будет экватор глаза.


вот объяснение я и хотел услышать. Или в вашем идеальном глазе, наверное, есть еще и точка откуда ведется наблюдение и подходим к стереографической проекции (разве не она основная ваша задумка?). Или "видит" соответствующая поверхность сферы (?). И сам глаз находится "сверху"(?). А может я неправильно представил ваше видение. Вопрос же я задал в надежде услышать новую идею, вообще отличную от стереографической.


Касательно самого понятия актуальной или потенциальной бесконечности позвольте предложить еще следующее соображение:
насколько я знаю принимать потенциальную бесконечность, как возможность построения следующего шага, никто и не оспаривал (буду рад если кто-нибудь просветит в обратном). Вся буза связана с актуальной бесконечностью.
Беря например множество натуральных чисел и говоря, что элемент принадлежит ему, я представляю, что оба объекта существуют. Таким образом существует актуальная бесконечность означает существует, например, множество натуральных чисел. Если бы этого не было и мы допускали бы только существования потенциальной бесконечности, то элемент принадлежит N надо было бы понимать как возможность определенного построения, вроде того что расшифровал PAV.
Еще пример - говоря, что две прямые паралельны на плоскости я понимаю что они обе существуют и не существует точка принадлежащая обоим. Если бы принималась только потенциальная бесконечность, то надо было-бы говорить, что отрезки лежат на паралельных прямых это всего лишь жаргон - понимать надо так, что продолжая отрезки на произвольную длинну не возникнет точка пересечения. Если не ошибась, у Евклида именно такое понимание.
Резюмируя - разность между потенциальной и актуальной бесконечностью уже в том как понимать существует, принадлежит и т.д.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2006, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
Есть книжка, называется Успенский "Что такое нестандартный анализ?". В этой книжке вводится еще одно множество чисел, которое включает в себя множество действительных чисел. Это множество сформировано тем, что к действительным числам прибавляются бесконечно малые, как обычные числа. Следовательно бесконечности в данном контексте это тоже числа (единица делить на бесконечно малую). Элементы такого множества наз. гипердействительными числами. Такой подход носит название неархимедового, в отличие от архимедового (стандартного).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2006, 12:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
Если кто читал эту книжку, интересно Ваше мнение о ней и вообще о нестандартном анализе.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2006, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Нестандартный анализ - это в принципе игра с теорией моделей, где есть такая теорема (кажется о полноте теории моделей), которая утверждает, что у всякой непротиворечивой теории существует модель. Если из теории чисел исключить аксиому Архимеда и добавить наличие бесконечно малых (и как следствие бесконечно больших) чисел, то полученная теория гипердействительных чисел будет тоже непротиворечивой и соответственно иметь эту самую модель. С введением бесконечно малых чисел отпадает нужда в епсилон-дельта рассуждениях и, кажется, пределах, что несколько сокращает выкладки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group