Свойство унитарно эквивалентных матриц

[1r0pb]

Добрый день.

Матрицы $A$ и $B$ называют унитарно эквивалентными, если $A=U^*BU$, где $U-$ унитарная матрица. Если $A$ и $B$ унитарно эквивалентны, то

$$\underset{ij}{\sum}|a_{ij}|^2=\underset{ij}{\sum}|b_{ij}|^2.$$

Что я надумал: последнее равенство в утверждении эквивалентно $\operatorname{tr}(AA^*)=\operatorname{tr}(BB^*)$ или, с учетом $A=U^*BU$, $\operatorname{tr}(U^*CU)=\operatorname{tr} C$, где $C$ симметричная матрица.

Как доказать последнее равенство, т.е. равенство следов симметричной матрицы и ортогонально преобразованной? Спасибо.

[vpb]

Тут достаточно вспомнить определения, обозначения, и основное свойство следа.
(а) Что такое $A^\ast$, где $A$ --- произвольная комплексная матрица ?
(б) Каково основное свойство-определение унитарных матриц ?
(в) Каково основное свойство следа ?
(г) Если Вы на вопросы (а), (б), (в) правильно ответили, то каков вывод ?

[vpb]

1r0pb
Даже более общее утверждение верно (а я сразу почему-то не сообразил): если $A$ --- произвольная $m\times n$ матрица из комплексных чисел, $U_1$ и $U_2$ --- унитарные матрицы размеров $m$ и $n$ соответственно, и $B=U_1AU_2$, то

$$ \sum_{ij} |a_{ij}|^2= \sum_{ij} |b_{ij}|^2$$

(сумма по $1\leq i\leq m$, $1\leq j\leq n$).
При доказательстве, естественно, достаточно рассматривать только тот случай, когда только одна из матриц $U_1$, $U_2$ неединичная. Еще надо использовать такой общий факт: если $X$ и $Y$ --- произвольные матрицы, то ${\rm tr}(XY)={\rm tr}(YX)$ во всех случаях, когда оба произведения $XY$ и $YX$ определены (т.е. когда $X$ размера $m\times n$, а $Y$ --- $n\times m$).

Можно еще так рассуждать. Рассматриваем только случай $B=U_1A$. Тогда столбцы матрицы $B$ получаются из столбцов для $A$ умножением слева на матрицу $U_1$. А умножение на унитарную матрицу сохраняет унитарную (или эрмитову ? не помню как правильно говорить) норму, поэтому $ \sum_i |a_{ij}|^2= \sum_i |b_{ij}|^2$ для каждого $j$. Со случаем $B=AU_2$ аналогично.