2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство ВТФ для ооочень частного случая n=3
Сообщение01.11.2018, 20:58 


22/11/15
10
Необходимо доказать, что уравнение
$x^3+y^3+z^3=0. \qquad (1)

не имеет решений в целых ненулевых попарно взаимно простых числах. Доказательство основано на тождестве
$(x+$у+$z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(x+z)(z+y).  (2)

Предположим, что уравнение (1) имеет некоторое решение в ненулевых целых числах x, y, z, тогда из (2) следует
$(x+$y+$z)^3=3(x+y)(x+z)(z+y).  (3)

Легко видеть, что из (3) следует, что одно и только одно из попарно взаимно простых чисел x, y, z обязано делится на 3.
Также простым перебором остатков по модулю 3 в уравнении
$(3x'_1+x_2)^3+(3y'_1+y_2)^3+(3z'_1+z_2)^3=0; x_2, y_2, z_2=0,1,2 (4)

можно убедиться, что одно и только одно из чисел x, y, z делится на 3 (всего 27 вариантов). Это частный случай теоремы Софи Жермен.
Пусть для определенности x делится на 3, $x=3^m x_1$, где $x_1$ не кратно числу 3
тогда из (1) при h=y+z получаем
$-x^3=$y^3+$z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2)=h(h^2 - 3 h z + 3 h z^2)=-3^{3m} x_1^3$,  (5)

следовательно,
$h=y+z=3^{3m-1} h_1^3,$$ (6)

где $h_1$ не кратно числу 3.
В итоге из (3) получаем
$(3^m x_1+3^{3m-1} h_1^3)^3=3(x+y)(x+z)(3^{3m-1} h_1^3),  (7)

что противоречит требованию $h_1$ не кратно числу 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для ооочень частного случая n=3
Сообщение01.11.2018, 21:21 


13/10/18
10
Rob123 в сообщении #1350928 писал(а):
Легко видеть, что из (3) следует, что одно и только одно из попарно взаимно простых чисел x, y, z обязано делится на 3.

Данное утверждение вызывает у меня сомнения. Как мы исключаем возможность того что ни одно из них не делится на 3?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для ооочень частного случая n=3
Сообщение02.11.2018, 02:24 
Заслуженный участник


16/02/13
3900
Владивосток
danton в сообщении #1350938 писал(а):
Как мы исключаем возможность того что ни одно из них не делится на 3?
(Безотносительно к доказательству в начальном письме) Если ни одно не делится, то все дают по модулю $3$ единицу либо минус единицу (поскольку сумма первых/третьих (что неважно) степеней даёт по модулю ноль). Тогда попарные суммы не делятся на три, сумма делится, стало быть куб суммы делится на $3^3$. Противоречие с (3)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для ооочень частного случая n=3
Сообщение02.11.2018, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17736
Москва
Rob123 в сообщении #1350928 писал(а):
В итоге из (3) получаем
$(3^m x_1+3^{3m-1} h_1^3)^3=3(x+y)(x+z)(3^{3m-1} h_1^3), (7)

что противоречит требованию $h_1$ не кратно числу 3.
Не понял, в чём противоречие. Левая часть делится на $3^{3m}$ и не делится на $3^{3m+1}$, и правая тоже делится на $3^{3m}$ и не делится на $3^{3m+1}$.

Замечания по поводу записи формул. (Обратите внимание, во что превратилась ваша формула при цитировании.)
Внутристрочная формула должна начинаться с одиночного знака доллара и заканчиваться одиночным знаком доллара.
Выключная формула должна начинаться парой знаков доллара и заканчиваться парой знаков доллара.
В обоих случаях внутри формулы знаков доллара не должно быть. Если зачем-то понадобился символ "$\$$" в формуле, он кодируется как \$, но это сбивает с толку движок форума, который может неправильно расставить теги math, и их вокруг такой формулы надо расставить вручную.
Окружать выключную формулу тегом центрирования не надо, она центрируется автоматически.
Для указания номера выключной формулы используется команда \eqno: $$x^3+y^3+z^3=0.\eqno(1)$$
Код:
$$[/math]x^3+y^3+z^3=0.\eqno(1)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для ооочень частного случая n=3
Сообщение12.11.2018, 11:53 


22/11/15
10
Действительно, противоречия, в отличии от Первого случая ВТФ не получается. С ходу взять не получилось :D . Однако формула (2) слишком красива, и за ней должно что-то скрываться. В частности, из аналога тождества (2) для n=5 и n=7 (и возможно многих других) следует Первый случай ВТФ. Для Второго случая она не срабатывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для ооочень частного случая n=3
Сообщение13.11.2018, 03:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17736
Москва
Rob123 в сообщении #1353489 писал(а):
В частности, из аналога тождества (2) для n=5 и n=7 (и возможно многих других) следует Первый случай ВТФ.
Про пятую степень не помню, а для седьмой степени точно не следует.

А для третьей степени можно вполне элементарно доказать, что одно из чисел $x,y,z$ должно делиться на $3^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group