2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Из: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение12.11.2018, 20:14 


06/04/18
254
Munin в сообщении #1352461 писал(а):
Ещё небольшой "перевод на русский": в формуле $ea=ae=a$ буква $a$ - переменная, а буква $e$ - константа (некоторый конкретный элемент группы, выбранный один раз и навсегда в этой группе; существует простая теорема, что он такой единственный).
Вы уже определитесь один раз и навсегда: либо у вас есть константа для обозначения единицы в группе, либо вы хотите доказать теорему про единственность единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение12.11.2018, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3247
Qlin в сообщении #1353602 писал(а):
Вы уже определитесь один раз и навсегда: либо у вас есть константа для обозначения единицы в группе, либо вы хотите доказать теорему про единственность единицы.
Та $e$, которая вводится во второй аксиоме группы - это константа. После того как во второй аксиоме группы постулировано, что существует такое $e$, - эта $e$ фиксирована. Даже если бы существовали другие единицы, они обозначались бы не $e$, а по-другому. Но легко доказать, что других единиц нет (при этом мы обозначаем произвольную единицу какой-то другой буквой, например $g$, и доказываем, что $g=e$; это и означает, что любая единица равна той самой фиксированной единице $e$, и стало быть единица единственна.)
arseniiv в сообщении #1352501 писал(а):
Формально там и $e$ переменная. Но мы можем дополнить сигнатуру группы константой $e$ и убрать из аксиомы выше внешний квантор.
…не просто так можем, конечно, а после доказательства единственности нейтрального.
Формально может быть и да, но неформально это понимается так, как сказано здесь выше. Строя следствия из второй аксиомы, мы не тащим в каждое из этих следствий квантор $\exists e\in G$, даже ещё когда не доказали единственность единицы. Можно понимать это так, что мы этот квантор подразумеваем, а не пишем только из лени; а можно неформально понимать так, что из всех элементов с тем свойством, о котором говорится во второй аксиоме, мы выбрали один и назвали его $e$. (А уже потом убедились, что других и нет.) Насколько я понимаю, никакой практической разницы тут не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение12.11.2018, 21:01 


06/04/18
254
Mikhail_K в сообщении #1353607 писал(а):
Та $e$, которая вводится во второй аксиоме группы - это константа. После того как во второй аксиоме группы постулировано, что существует такое $e$, - эта $e$ фиксирована.
Вы тут пишете какую-то чушь; такую же чушь написал до вас и Munin. Потому что если $e$, как вы утверждаете, есть константа, то нет необходимости постулировать существование объекта, обозначаемого этой константой. Содержательно константа и так всегда интерпретируется в существующий и единственный объект. А формально кванторы не навешиваются по константам.
Munin в сообщении #1352461 писал(а):
Если что, аксиома единицы в группе читается так:
$\exists\,e\in G\colon \Bigl(\forall\,a\in G\colon (ea=ae=a)\Bigr)$
Munin в сообщении #1352461 писал(а):
буква $e$ - константа
Это несёт не больше смысла, чем выражение $\exists 2 \in \mathbb{N} \ (2+2=2\times 2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение12.11.2018, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26010

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1353607 писал(а):
Та $e$, которая вводится во второй аксиоме группы - это константа. После того как во второй аксиоме группы постулировано, что существует такое $e$, - эта $e$ фиксирована. Даже если бы существовали другие единицы, они обозначались бы не $e$, а по-другому.
Так можно делать, но получится, по идее, не обязательно консервативное расширение теории (если нет единственности). На неформальном уровне понятно, что одно дело вводить константу для обозначения единственного объекта, имеющего какое-то свойство, а другое — для какого-то из многих. Все «глобальные» определения, которые где-нибудь делаются, относятся именно к первому случаю, хотя как часть неформального доказательства или вывода натуральной дедукции (заимствующего больше из типичных неформальных доказательств, чем гильбертовский вывод) такие объекты, конечно, попадаются, но там важно, что у них конечная область видимости и в свет они не попадают.

В результате мы не можем, например, дать имя множеству, существование которого в ZF постулирует аксиома бесконечности (вот выделить из всех таких множеств наименьшее и назвать $\omega$.

Другой взгляд на ту же вещь даёт то, что кванторные переменные немые и могут быть переименованы (почти) как угодно, так что они не подходят для имени константы (обычной, «глобальной»).

Mikhail_K в сообщении #1353607 писал(а):
Насколько я понимаю, никакой практической разницы тут не будет.
Да, кроме локальности времени жизни, если можно так выразиться. Ну в принципе мы можем ввести правило «если мы доказали, что $c$, возникшая снятием $\exists x$, единственна, можно отпустить её на волю», но тут никуда не девается свобода назвать эту $c$ при снятии квантора как душе угодно, а имени $x$ как бы вообще не существует.

Qlin
Давайте вы лучше скажете, чем не устроил мой комментарий к тому посту Munin. А то получается, что вы поднимаете вопрос, который возник в теме вообще случайно. Если все такие вопросы обсуждать столь же тщательно, что и те, которым посвящены темы, форум потонет в оффтопе. Модераторы, конечно, могут всё переносить, но даже если и будут успевать, получаются рваные цепочки сообщений, так что лучше было бы для этого создать отдельную тему, а здесь оставить ссылку, если уж так обязательно надо.

Этот вопрос надо или обсуждать на более высоком уровне, ибо метаматематический, или не обсуждать. В любом случае не в этой теме. То, что обсуждение его остаётся здесь — проявление неидеальности мира, не более. Не надо её усугублять, нам в нём жить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение13.11.2018, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
Qlin в сообщении #1353602 писал(а):
Вы уже определитесь

От вас я советы буду слушать в последнюю очередь.

Похоже, вам неведомо, что за раздел "Помогите решить / разобраться", и каковы на этом форуме правила и традиции поведения в этом разделе.

Qlin в сообщении #1353613 писал(а):
Это несёт не больше смысла, чем выражение $\exists 2 \in \mathbb{N} \ (2+2=2\times 2)$

Между прочим, это выражение несёт смысл, и даже доказывается как теорема.

-- 13.11.2018 00:07:54 --

Mikhail_K в сообщении #1353607 писал(а):
Та $e$, которая вводится во второй аксиоме группы - это константа. После того как во второй аксиоме группы постулировано, что существует такое $e$, - эта $e$ фиксирована. Даже если бы существовали другие единицы, они обозначались бы не $e$, а по-другому.

Не совсем так: до теоремы о единственности это всё-таки не константа. И разные единицы обозначаются, типа, $e_1,e_2,$ etc. Но поскольку эта теорема идёт почти сразу после аксиом, можно забыть о моменте шаткой неопределённости, и всю остальную жизнь считать $e$ именем константы.

(Оффтоп)

2,718281828...

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение13.11.2018, 00:53 


06/04/18
254
Munin в сообщении #1353652 писал(а):
От вас я советы буду слушать в последнюю очередь.
Ключевое тут — "от нас". Munin не интересуется, что ему было сказано, ему принципиально, кем это сказано. И поскольку совет исходит "от нас", он его слушать не будет.
Munin в сообщении #1353652 писал(а):
Не совсем так: до теоремы о единственности это всё-таки не константа.
Это бредовое суждение. Константы вводятся до каких-либо теорем. На уровне языка.
Munin в сообщении #1353652 писал(а):
Между прочим, это выражение несёт смысл, и даже доказывается как теорема.
Это выражение не только не доказывается, но и вообще не является формулой в языке первого порядка с константой $2$.
arseniiv в сообщении #1353638 писал(а):
Давайте вы лучше скажете, чем не устроил мой комментарий к тому посту Munin.
arseniiv, почему вы так решили? Я не говорил, будто меня не устраивает ваш комментарий. Меня не устраивает исходный комментарий Munin и его дальнейшие попытки выкрутиться.
arseniiv в сообщении #1353638 писал(а):
Этот вопрос надо или обсуждать на более высоком уровне, ибо метаматематический, или не обсуждать.
Этот вопрос языковой. Языки строятся по строгим правилам. Пусть Munin не разбирается в этих правилах и пишет коряво, поправлять его не обязательно. Но проблема в том, что он пытается навязать свои корявые формулировки другим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение13.11.2018, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2471

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1353652 писал(а):
всю остальную жизнь считать $e$ именем константы.

А у нас только одна группа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение13.11.2018, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26010

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1353652 писал(а):
Между прочим, это выражение несёт смысл, и даже доказывается как теорема.
Опять же, смотря какой уровень формализации; в формализованной теории обычно множества переменных, констант, вообще символов алфавита, использующихся разными способами, берут непересекающимися, и $2$ обычно есть смысл включать именно в константы, тогда она не может идти после квантора. То, что запись $\exists 2 \in \mathbb{N} \ (2+2=2\times 2)$ может не видеться такой уж проблемной — одно из проявлений человеческого стремления заполнять пропуски и бросаться в обсуждения с недостаточно определёнными предметами. :-)

Qlin в сообщении #1353661 писал(а):
Munin не интересуется, что ему было сказано, ему принципиально, кем это сказано.
Non sequitur. Ему, как и многим другим, небезразлично, кем говорятся вещи, и не по пустому поводу, но это не значит, что это «небезразлично» — «принципиально», и что он руководствуется только тем, кто говорил, а не что.

И, извините, кто бы говорил. Вы регулярно делаете пока что ошибки разной степени безответственности в разделе ПРР (аксиома бесконечности в другой теме, я всё помню), который предназначен для аккуратной помощи, а не для запутывания. Пока есть столько ошибок и нет их своевременной коррекции, уровень знаний говорящего маловажен. Ну вот о вас и складывается то или иное впечатление. И в ваших же руках его улучшить или ухудшить. Вот меня честно уже бесит, что вы делаете, мне жалко отвлекаемых топикстартеров как минимум.

Qlin в сообщении #1353661 писал(а):
Это бредовое суждение. Константы вводятся до каких-либо теорем. На уровне языка.
Ну вообще не всё так просто. Существует не единственная формализация математики. Некоторые из них распространены из-за удобства рассмотрения полезных вопросов. Однако они не обязательно хорошо описывают все стороны неформальной математики. Например, гуманный подход к математическим текстам. И особенности построения человеческих математических текстов — вообще объект изучения вообще лингвистики, притом такой, что никто им особо не интересуется и профессионально не разбирается, потому ваше мнение как минимум не самое лучшее.

Qlin в сообщении #1353661 писал(а):
arseniiv, почему вы так решили? Я не говорил, будто меня не устраивает ваш комментарий. Меня не устраивает исходный комментарий Munin и его дальнейшие попытки выкрутиться.
Ну так на мой комментарий он ничего не отвечал и прокомментированное не продолжал. До того как мы не продолжили обсуждать эту тему снова после комментария уже вашего — так что на вас, в принципе, часть ответственности за продолжение того, что вам не нравится. Ой-ой.

Хорошо бороться за правое дело, но вот только правость дел, к сожалению, контекстозависима.

Qlin в сообщении #1353661 писал(а):
Этот вопрос языковой. Языки строятся по строгим правилам. Пусть Munin не разбирается в этих правилах и пишет коряво, поправлять его не обязательно. Но проблема в том, что он пытается навязать свои корявые формулировки другим.
Про это я уже выше написал: всё было, по-моему, скорректировано. Если было скорректировано плохо, надо было корректировать уже меня. А так получается, что сначала один человек говорит вообще не про формальную математику, а другой начинает его «поправлять», не учтя нюансы. А потом метаобсуждение поедает основную тему. И зачем, спрашивается?

Дополнение:

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1353662 писал(а):
А у нас только одна группа?
Это, кстати, откроет ещё одну банку червяков. Когда у нас теория состоит просто из трёх аксиом группы (и тогда имя группы там не упоминается никак), она и говорит только об элементах одной этой группы, точнее об элементах вообще любой группы. Можно до некоторой степени конкретизировать ситуацию, даже доходя до описания только одной какой-то группы (с точностью до изоморфизма, конечно), но, например, периодичность группы нельзя выразить никаким множеством аксиом (это была бы бесконечная «аксиома» $\forall x.\, x = e\vee xx = e\vee xxx = e\vee\ldots$, но бесконечные формулы запрещены).

Когда же мы используем аксиомы группы обычным образом — там упоминается её носитель и всё понимается в контексте теории множеств или чего-то такого, и эти аксиомы не являются собственно аксиомами этой теории-основания, это просто такое в некотором роде переносное значение слова. Мы можем с помощью них определить множество всех групп или там категорию или предикат «это группа» и пойти заниматься содержательными вопросами, уже не поминая этих («)аксиом(») никогда.

И вот зачем тут начали обсуждать первое вместо второго, вообще загадка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Из: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение13.11.2018, 01:37 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
19252
Кронштадт
 i  Выделено из «Понятие группы: нейтральный элемент»


-- 13.11.2018, 01:41 --

 !  Qlin - захват темы, малограмотные комментарии в ПРР. Поскольку не в первый раз, пара недель отдыха будут в самый раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Из: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение13.11.2018, 01:58 
Заслуженный участник


18/01/15
1570
Qlin
Между прочим, среди ЗУ, насколько я знаю, далеко не один профессор и доктор наук, а уж доцентов с кандидатами --- как собак нерезаных. То, что они тут помогают порой не очень умным студентам --- это с их стороны гуманное волонтерство, хотя бы за это их уважать надо. А теперь представьте: Вы в университете заходите на кафедру, или хлеще того на заседание Ученого совета, и заявляете "все вы тут чушь несете". Реакция и последствия, сами понимаете какие. Короче, Вы при Вашем дерзком поведении, думается, в одном шаге от отчисления с форума. (И на всякий случай: если сейчас по неведению заведете клона, Вас тут же забанят навечно, см. правила форума).

 Профиль  
                  
 
 Re: Из: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение13.11.2018, 02:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
Qlin в сообщении #1353661 писал(а):
Munin не интересуется, что ему было сказано, ему принципиально, кем это сказано.

Ну почему, интересуюсь. И если вижу дельный совет, стараюсь ему следовать, от кого бы он ни исходил. Семантика фразы скорей другая: вам самому стоило бы обратить внимание на статистику дельных советов, от вас исходящих.

Geen в сообщении #1353662 писал(а):
А у нас только одна группа?

Подловили! :-)

А я снова выкручусь! Да, $e$ - константа! Константа, понимаемая как 0-местная операция, определённая сразу на всех группах. То есть, функция на множестве групп, которая на конкретной группе даёт эту 0-местную операцию. Функция же может быть константой? :-)

И строго по этому, единицы разных групп вполне принято обозначать $e_G, e_H,$ и т. д.

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1353663 писал(а):
периодичность группы нельзя выразить никаким множеством аксиом (это была бы бесконечная «аксиома» $\forall x.\, x = e\vee xx = e\vee xxx = e\vee\ldots$, но бесконечные формулы запрещены).

Не понимаю, почему нельзя $\forall\,x\in G\quad\exists\,n\in\mathbb{N}\colon\quad x^n=e.$
(Если что, я не знаю, языком какого порядка пользуюсь, но и не помню, чтобы обещал всегда пользоваться языком первого порядка or whatever.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Из: Понятие группы: нейтральный элемент
Сообщение13.11.2018, 03:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3270
Москва
Munin в сообщении #1353674 писал(а):
Константа, понимаемая как 0-местная операция, определённая сразу на всех группах. То есть, функция на множестве групп, которая на конкретной группе даёт эту 0-местную операцию.
Так 0-местная, или одноместная (берет группу и выдает элемент группы)? А множества всех групп нет...
Munin в сообщении #1353674 писал(а):
Не понимаю, почему нельзя $\forall\,x\in G\quad\exists\,n\in\mathbb{N}\colon\quad x^n=e.$
Эта формула не в сигнатуре $(\cdot, =)$. Теория групп - это теория первого порядка в этой сигнатуре с тремя аксиомами. Ее можно консервативно расширить добавлением константного символа $e$ (или нульместной функции; можно вообще в исчислении предикатов вместо константных символов всегда использовать функции нуля аргументов).
Понятно как сделать теорию абелевых групп - добавить аксиому $\forall x, y: x + y = y + x$. Или как сделать теорию групп без кручения: для каждого $n$ добавить аксиому $\forall x: x \cdot x \cdot \ldots \cdot x = e \rightarrow x = e$.
А вот добавить аксиомы в той же сигнатуре так, чтобы моделями новой теории были только периодические группы - невозможно.
Вашу формулу можно строго расписать в какой-нибудь ZF - и там да, выразимо утверждение "данное можество является группой кручения".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group