Демидович 808.

[Ivan_B]

Модулем непрерывности функции $f(x)$ на промежутке $(a, b)$ называется функция $\omega_f(\delta)=\sup|f(x_1)-f(x_2)|$, где $x_1$, и $x_2$ - любые точки из $(a, b)$, связанные условием $|x_1-x_2|\leqslant\delta$.
Получить оценку модуля непрерывности $\omega_f(\delta)$ вида $\omega_f(\delta)\leqslant C\delta^\alpha$, где $C$ и $\alpha$ - константы, если
а) $f(x)=x^3$, $(0\leqslant x \leqslant 1);$

Попытка решения: $(x+\Delta x)^3-x^3=3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3=\Delta x (3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2)<7\Delta x$

[iifat]

Ну и? Что ж вы остановились?

[Ivan_B]

Получилась грубая оценка. Не знаю как ее уточнить.

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1353529 писал(а):

Попытка решения: $(x+\Delta x)^3-x^3=3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3=\Delta x (3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2)<7\Delta x$

Вы хотите сказать, что $C=7$ и $\alpha =1$? Посмотрите график и попытайтесь определить $C,\alpha$ руками. Это добавит понимания.

Вы не совсем удачно выбрали обозначения, мне кажется. У Вас $0\le x\le 1-\Delta x$. Лучше было, наверное, выбирать так, чтобы $\Delta x\le x\le 1.$

[Ivan_B]

grizzly в сообщении #1353537 писал(а):

Вы хотите сказать, что $C=7$ и $\alpha =1$?

Да.

grizzly в сообщении #1353537 писал(а):

Посмотрите график и попытайтесь определить $C,\alpha$ руками.

График какой функции? (Что делать с графиком $x^3$ идей нет)

grizzly в сообщении #1353537 писал(а):

Вы не совсем удачно выбрали обозначения

Скорее всего, я вообще что-то не то делаю.
Я взял две произвольные точки $x_1=x$ и $x_2=x+\Delta x$ и показал, что $f(x_2)-f(x_1)<7(x_2-x_1)=7\Delta x$, исходя из того, что $0\leqslant x \leqslant 1$, $0\leqslant \Delta x \leqslant 1$ и $0\leqslant x+\Delta x \leqslant 1$

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1353541 писал(а):

График какой функции? (Что делать с графиком $x^3$ идей нет)

Но ведь это не самая сложная функция. Поэкспериментируйте, попытайтесь подобрать что-нибудь поближе к супремуму. Посмотрите, чего Вы сможете добиться по-максимуму. И тогда сравните с Вашей оценкой. Вашим способом всё можно сделать, но нужно больше понимания.

И попробуйте всё-таки те обозначения, что я советовал выше: $x^3-(x-\Delta x)^3$.

[Ivan_B]

grizzly в сообщении #1353544 писал(а):

попробуйте всё-таки те обозначения, что я советовал выше: $x^3-(x-\Delta x)^3$

$x^3-(x-\Delta x)^3=3x^2\Delta x - 3x\Delta x^2-\Delta x^3<3x^2\Delta x<3\Delta x$
Спасибо!

[grizzly]

Ivan_B в сообщении #1353548 писал(а):

Спасибо!

Знак в одном месте не тот. И это не отменяет необходимости понять, почему одно и то же (почти), сделанное в разных обозначениях, дало разный результат.

[iifat]

Ivan_B в сообщении #1353535 писал(а):

Не знаю как ее уточнить

Строго говоря, уточнять от вас в исходной задаче не требуется.

[Ivan_B]

grizzly в сообщении #1353552 писал(а):

Знак в одном месте не тот.

$x^3-(x-\Delta x)^3=3x^2\Delta x - 3x\Delta x^2+\Delta x^3$$=3x^2\Delta x-\Delta x^2(3x-\Delta x)<3x^2\Delta x<3\Delta x$, при $(3x-\Delta x)>0$
Если $(3x-\Delta x)<0$, то $\Delta x < x<\frac{1}{3}$, тогда $3x^2\Delta x - 3x\Delta x^2+\Delta x^3<\frac{4}{9}\Delta x$

grizzly в сообщении #1353552 писал(а):

И это не отменяет необходимости понять, почему одно и то же (почти), сделанное в разных обозначениях, дало разный результат.

Я решил, что это из-за использования грубой оценки $\Delta x = 1$

iifat в сообщении #1353567 писал(а):

Строго говоря, уточнять от вас в исходной задаче не требуется.

С одной стороны да, с другой - с ответом-то не сходится...

[grizzly]

Ivan_B
Да, теперь хорошо.

[Ivan_B]

Спасибо огромное за помощь!