Определить учебник по курсу линейной алгебры

[KiKoss123]

В качестве основного учебника нам порекомендовали Ильин В.А., Позняк Э.Г. "Линейная алгебра".
Но... в нем нет и половины того, что мы успели пройти.

Вот заголовки из конспекта:
Поле
Комплексные числа
Линейные пространства (аксиомы)
Линейная зависимость, надсистема, подсистема
Теорема (единственность разложения по базису)
Умножения матриц
Обратная матрица
Подпространства
Лемма о замене
Лемма Штейница
Подстановки
Инверсия
Определитель (через сигму)
Миноры

Они чуть-чуть разбросаны, за хронологию не ручаюсь. Но начинали мы именно с поля. Сегодня на лекции такой момент запомнился:
Доказывали, что если в матрице две строки (столбца) совпадают, то определитель равен нулю. Но лектор сказал, что обычное доказательство по типу поменяем две строки (столбца) местами, получим, что detA = -detA => он равен нулю лишь частный случай. Доказывали все через сигмы и получили что-то типа такого
$(-1)^{|\sigma|}(a_{i\alpha}a_{j\beta}-a_{i\beta}a_{j\alpha})=0$

Понимаю, что описал все довольно бегло, но у самого голова разрывается на части - по конспекту заниматься невозможно, нужен учебник. Надеюсь на вашу помощь!

-- 12.11.2018, 16:58 --

В рекомендованном учебнике есть многие из этих заголовков, но нет сигм, нет теоремы Штейница (ее, кстати, почти во всех учебниках нет). Преподаватель очень хороший, очень понравился предмет, но почти ничерта непонятно.

[Munin]

"Сигмы" - это, видимо, перестановки. $|\sigma|$ - чётность перестановки. Это вы можете прочитать по
Кострикин. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры.
сначала § 1.8 Перестановки, а потом глава 3 Определители.

[KiKoss123]

Munin в сообщении #1353555 писал(а):

"Сигмы" - это, видимо, перестановки. $|\sigma|$ - чётность перестановки. Это вы можете прочитать по
Кострикин. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры.
сначала § 1.8 Перестановки, а потом глава 3 Определители.

там, как раз, частный случай доказательства (в поле Z2 не работает, как нам показали), лемма Штейница отсутствует

-- 12.11.2018, 17:38 --

Неужели к курсу нет учебника

[Munin]

То, что у вас называлось "теоремой Штейница", в том или ином виде есть во всех учебниках, но может быть переформулировано в других утверждениях (из которых моментально следует оригинальная формулировка). Например, в
Ильин, Позняк. Линейная алгебра.
это теоремы § 2.2 подпункта 3 Размерность линейного пространства.

В других местах она же может называться не совсем так. Например, в
Кострикин. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра.
§ 1.2 подпункт 2 Размерность линейного пространства и его базис,
сформулирована теорема 3, часть (ii) которой названа принципом Стейница о замене.

-- 12.11.2018 16:47:51 --

KiKoss123 в сообщении #1353559 писал(а):

там, как раз, частный случай доказательства (в поле Z2 не работает, как нам показали)

Это единственное поле, в котором не работает. (Точнее, поле характеристики 2.) Вам надо отдельное доказательство для этого случая? Это уже обычно продвинутые учебники, в базовых не пускаются в такие тонкости. Я не буду искать, оставлю более опытным людям.

KiKoss123 в сообщении #1353559 писал(а):

Неужели к курсу нет учебника

Извините, нет.

Обычно лектор даёт в начале курса рекомендуемую литературу. Вот она и является наиболее близкой к тому, что он читает.

Если лекции лектора не совпадают с тем чтивом, которое он рекомендовал, то скорее всего, это его собственное построение курса, и никакой учебник вам буквально не подойдёт. Придётся искать по многим. Ещё бывают конспекты конкретно этого лектора (студенческие или отредактированные самим лектором), но они могут быть "конспективнее" самих лекций (а могут быть и подробнее).

-- 12.11.2018 16:51:07 --

Munin в сообщении #1353560 писал(а):

Вам надо отдельное доказательство для этого случая?

Кстати, это полезное упражнение на самостоятельное выполнение.

[KiKoss123]

Munin
Спасибо большое! Просто смутило, что мы работаем с конечными полями каждое занятие, а в учебнике про это ни слова

[Munin]

Конечные поля - это хорошее упражнение, хотя на мой вкус, может быть, слишком поспешно давать это сразу с начала первому курсу.

По конечным полям лучше какие-то отдельные книги искать и спрашивать. Вы правы, большинство "стандартных" учебников линейной алгебры для первокурсников - сосредоточены на случаях полей $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ (часто бывает только $\mathbb{R}$). Они наиболее важны для приложений в физике, в матанализе, в инженерных приложениях, в естественных науках, в экономике.

-- 12.11.2018 17:36:05 --

Кажется,
Кострикин. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра.
рассказывает линейную алгебру над произвольными полями.

[D'Amir]

Если имеется в виду теорема Штейница "о замене", то она подробно доказывается в книге "Лекции по аналитической геометрии" (автор П.С. Александров) - страница 298.