Понятие группы: нейтральный элемент

[arseniiv]

Munin в сообщении #1352461 писал(а):

$\exists\,e\in G\colon \Bigl(\forall\,a\in G\colon (ea=ae=a)\Bigr)$

Ещё небольшой "перевод на русский": в формуле $ea=ae=a$ буква $a$ - переменная, а буква $e$ - константа (некоторый конкретный элемент группы, выбранный один раз и навсегда в этой группе; существует простая теорема, что он такой единственный).

Формально там и $e$ переменная. Но мы можем дополнить сигнатуру группы константой $e$ и убрать из аксиомы выше внешний квантор.

-- Чт ноя 08, 2018 01:45:57 --

…не просто так можем, конечно, а после доказательства единственности нейтрального.

[bayah]

Someone в сообщении #1352443 писал(а):

Нет, равенство — это не просто отношение эквивалентности. Равные объекты полностью взаимозаменимы: в любом высказывании любой объект можно заменить любым равным ему, то есть равные объекты неразличимы. Поэтому можно считать, что это "один и тот же объект": мы же никак не можем узнать, заменили объект или не заменили. А эквивалентные объекты не всегда могут заменять друг друга.

Ну, как я понима, эквивалентные объекты могут быть разными в отношении смыслов отличных от тех, в которых они эквивалентны?
Вообще равеноству есть формальное описание? На Википедии говорят что в этом вопросе "возникает разнобой").

arseniiv в сообщении #1352449 писал(а):

Это неправильное возражение. Если его записать формально: $\forall x\in A.\forall x'\in A.\,x\ne x'$ — можно увидеть следствие $\forall x\in A.\,x\ne x$ — очевидно неверное для любого непустого множества $A$. Когда говорят, что в множестве не может быть больше одного одинакового элемента, на самом деле должно произноситься, что мы можем сказать что-нибудь только принадлежности элемента множеству, а не о числе его вхождений туда (как для мультимножеств) — которое по-хорошему просто не определено — иначе говоря, множества отличаются друг от друга только вхождением элементов, а не их количествами.

Не, почему же, если $x$ и $x'$ - переменные, то наверное это так бы выглядело формально, но там я говорил о конкретных элементах множества - $0$ и $1$.
Как тогда следует формально, что $0 \neq 1$?

[Munin]

bayah в сообщении #1352910 писал(а):

Ну, как я понима, эквивалентные объекты могут быть разными

Эквивалентные - да. Но здесь речь идёт просто о равенстве. Пример эквивалентности: геометрические фигуры равной площади. А про равенство вы можете спокойно думать как про "равные числа".

bayah в сообщении #1352910 писал(а):

Как тогда следует формально, что $0 \neq 1$?

Вообще говоря, никак. Вполне возможно сделать группу из одного элемента, который будет играть роль и нуля (нейтрального элемента по сложению), и единицы, и чего угодно. И то же относится ко многим другим алгебраическим структурам, например, кольцам, полям, векторным пространствам, решёткам. Хотя этот случай и неинтересен.
Чтобы его не обсуждать, и не спотыкаться об него в рассуждениях, надо ввести отдельную аксиому $0\ne 1.$ Ну и вводят.

[Someone]

bayah в сообщении #1352910 писал(а):

Вообще равеноству есть формальное описание?

Есть. Равенство описывается следующими аксиомами (Е. Расёва, Р. Сикорский. Математика метаматематики. "Наука", Москва, 1972. Глава V, § 12):
1) $x=x$;
2) $(x=y)\Longrightarrow(y=x)$;
3) $((x=y)\wedge(y=z))\Longrightarrow(x=z)$;
4) если $\varphi$ — $m$-местный функтор, то
$((x_1=y_1)\wedge(x_2=y_2)\wedge\ldots\wedge(x_m=y_m))\Longrightarrow$
$\Longrightarrow(\varphi(x_1,x_2,\ldots,x_m)=\varphi(y_1,y_2,\ldots,y_m))$;
5) если $\rho$ — $m$-местный предикат, то
$((x_1=y_1)\wedge(x_2=y_2)\wedge\ldots\wedge(x_m=y_m))\Longrightarrow$
$\Longrightarrow(\rho(x_1,x_2,\ldots,x_m)\Longrightarrow\rho(y_1,y_2,\ldots,y_m))$.
Здесь 4) и 5) — не аксиомы, а схемы аксиом (нужно взять по одной аксиоме для каждого предиката и для каждого функтора).
Равенство иногда относят к математической логике, иногда — к конкретной формальной теории, то есть, например, если мы рассматриваем арифметику Пеано, то мы можем считать аксиомы равенства либо логическими аксиомами, либо арифметическими.
В разной литературе аксиомы равенства могут формулироваться по-разному.
В принципе, если у нас есть равенство $x=y$, то мы можем считать, что символы "$x$" и "$y$" — это просто разные имена для одного и того же объекта.

[vpb]

bayah
Парить себе мозги о свойствах равенства Вам совершенно незачем, от этого они здоровее не будут. (Это занятие может быть (иногда) полезно только тем, кто математику как таковую неплохо понимает).

(Оффтоп)

Кажется, где-то на форуме писали такую вещь: в забугре обычно математики и статистики в одном департаменте (факультете, по нашему), а логики и философы в другом. Мораль отсюда сами извлеките.

По существу вопроса все написал Someone в первом сообщении, очень ясно, так что повторять это смысла нет. Еще, есть такая весьма несложная книжка, Э.Фрид, Элементарное введение в абстрактную алгебру. Про всю книжку не скажу, но начало там очень понятное, Вам реально может быть полезно. В частности, Ваше затруднение --- это во Фриде задача 4 из пункта 3.1.

[bayah]

Munin в сообщении #1352921 писал(а):

Вообще говоря, никак. Вполне возможно сделать группу из одного элемента, который будет играть роль и нуля (нейтрального элемента по сложению), и единицы, и чего угодно. И то же относится ко многим другим алгебраическим структурам, например, кольцам, полям, векторным пространствам, решёткам. Хотя этот случай и неинтересен.

Ну тогда это будет все таки один элемент, который будет иметь свойства "нуля" и "единицы". Все таки свойства элемента в разных ситуациях не есть сам элемент.
Я так понимаю сами элементы так сказать атомарны - это просто элементы множества не нагруженные никакими дополнительными отношениями?

Munin в сообщении #1352921 писал(а):

Чтобы его не обсуждать, и не спотыкаться об него в рассуждениях, надо ввести отдельную аксиому $0\ne 1.$ Ну и вводят.

То есть чтобы сказать что множество содержит $n$ разных элементов нужно ввести $n(n-1)$ аксиом о неравенстве?

-- 12.11.2018, 17:58 --

vpb в сообщении #1353207 писал(а):

Парить себе мозги о свойствах равенства Вам совершенно незачем, от этого они здоровее не будут. (Это занятие может быть (иногда) полезно только тем, кто математику как таковую неплохо понимает).

(Оффтоп)

Ну вопросы возникают, почему бы их не задать, себе в первую очередь. Да и философии я симпатизирю)

[Munin]

bayah в сообщении #1353473 писал(а):

Все таки свойства элемента в разных ситуациях не есть сам элемент.

Есть такие свойства, что им удовлетворяет только один элемент, или не больше чем один элемент. В таких ситуациях различать свойства и элемент не имеет смысла.

bayah в сообщении #1353473 писал(а):

Ну тогда это будет все таки один элемент, который будет иметь свойства "нуля" и "единицы".

Так и говорят: ноль и единица совпадают. (И это единственный случай, когда они могут совпасть - почему?)

bayah в сообщении #1353473 писал(а):

Я так понимаю сами элементы так сказать атомарны - это просто элементы множества не нагруженные никакими дополнительными отношениями?

Не стоит так думать. В группе каждый элемент "нагружен" уже кучей соотношений: он имеет определённые произведения со всеми остальными элементами группы (и с собой). То же относится и к другим структурам, основанным на группе или операции. Если у нас структура, основанная на отношении (например, частично упорядоченное множество = ЧУМ = poset), то для элемента задано, с какими другими элементами (и с собой) он входит в это отношение, а с какими не входит. И так далее.

bayah в сообщении #1353473 писал(а):

То есть чтобы сказать что множество содержит $n$ разных элементов нужно ввести $n(n-1)$ аксиом о неравенстве?

Можно, наверное, и так выразиться. Хотя мне кажется, это какой-то неэкономный способ выражаться. Есть какие-то другие способы сказать, что "множество имеет мощность $\mathfrak{C}$". Особенно если кардинал несчётный.

[arseniiv]

bayah в сообщении #1353473 писал(а):

То есть чтобы сказать что множество содержит $n$ разных элементов нужно ввести $n(n-1)$ аксиом о неравенстве?

Не надо ничего вводить, надо показать его равномощность множеству $\{1,\ldots,n\}$. А уж что натуральные числа, получающиеся сложением разного числа единиц, не равны, можно считать очевидным. В любой теории, умеющей об этих числах говорить, это доказывается, а не постулируется обычно.

Вообще разговор об аксиомах и разговор о конкретном множестве немножко разноуровневые. Всё можно делать, но аккуратно и не в этой теме точно.

Неформально, тут уже выше писали, объекты равны, когда каждым свойством они или обладают оба, или не обладают оба же. Этого должно быть достаточно, чтобы получить все интересующие общие свойства равенства, не зависящие от того, о чём мы говорим (включая то, что это отношение эквивалентности). Это определение ещё Лейбниц, говорят. Однако конкретные равенства действительно нельзя получить, не постулировав каких-то равенств или неравенств заранее. Но это делается обычно экономично, а не вводя по аксиоме для каждой пары выражений с равными или неравными значениями. И если мы рассматриваем какую-то конкретную группу, то и эти конкретные свойства равенства мы берём оттуда же, откуда взяли группу. Ничего дополнительно постулировать при этом обычно не нужно. (Аналогично всё распространяется на почти всю математику вообще.)

bayah в сообщении #1353473 писал(а):

Я так понимаю сами элементы так сказать атомарны - это просто элементы множества не нагруженные никакими дополнительными отношениями?

Вообще говоря это бессмысленное утверждение (как и его отрицание). Если мы говорим формально, мы задаём отдельно носитель, отдельно операции на нём, и для изоморфизма двух структур оказывается совершенно не важна структура элементов носителя. Если мы говорим неформально, то разумеется элементы алгебраической структуры в некотором роде связаны, иначе бы мы не рассматривали их как элементы этой структуры. (Ну почти. Есть штуки типа $\mathbb R$, которые рассматриваются неформально совершенно разными образами — то это топологическая группа, то поле, то упорядоченное поле, то линейно упорядоченное множество, то просто множество континуальной мощности и т. п. — оно такое хорошее свойствами, что обычно все они сразу не нужны.)

[Pphantom]

Побочное обсуждение отделено в «Из: Понятие группы: нейтральный элемент»

[bayah]

Что-то прояснилось.)
Спасибо всем: arseniiv, Munin, vpb, Someone,...