Закон больших чисел

[AnthonyP]

Применим ли ЗБЧ для $\xi_n \sim R(- \sqrt{n},\sqrt{n})$.
$M[\xi_n]=0$
$D[\xi_n]=\frac{n}{3}$

C одной стороны есть теорема Хинчина (мат. ожидание меньше бесконечности) и ЗБЧ выполняется. А с другой стороны теорема Чебышева (дисперсия не ограничена какой-то константой) и ЗБЧ не выполняется. Как быть в такой ситуации? Что использовать для проверки применимости ЗБЧ?

[Otta]

Надо думать, что независимость была оговорена. Да?
Выполняется ЗБЧ или не выполняется - говорить преждевременно, нас об этом спрашивают. Мы говорим о (не)выполнении условий теорем.

А применять можно попробовать аппарат х.ф., напрямую.

[alisa-lebovski]

Найдите дисперсию нормированной суммы.

[Otta]

(Оффтоп)

alisa-lebovski в сообщении #1353307 писал(а):

дисперсию нормированной суммы.

У, какая красота :)

[AnthonyP]

Otta

Otta в сообщении #1353301 писал(а):

А применять можно попробовать аппарат х.ф., напрямую.

Единственное, что приходит в голову - это то, что закон распределения при $ n \to \infty$ неограниченно приближается к нормальному. Но пока не понимаю, как это может помочь.

[Otta]

AnthonyP в сообщении #1353318 писал(а):

Единственное, что приходит в голову - это то, что закон распределения при $ n \to \infty$ неограниченно приближается к нормальному.

Ну он тоже не всегда приближается. Тоже надо какие-то условия проверять, чтобы ЦПТ выполнялась. Или напрямую доказывать ЦПТ для данной последовательности. А как она доказывается? а с помощью х.ф. она и доказывается.
И ЗБЧ (в форме Хинчина) тоже.
Посмотрите доказательство, если не помните. И примените методы для данной последовательности, чтобы увидеть, что получится.

И если будете применять, то все сведется фактически к тому, чтобы считать некий коэффициент.
И подсчет этого коэффициента - в точности совет alisa-lebovski.

Поэтому вывод:
тот совет лучше, технически проще и логически естественней.

Но результат, конечно, получится один и тот же, поскольку суть одна.

[AnthonyP]

alisa-lebovski
$\frac{1}{3}$?

[alisa-lebovski]

Вообще-то получается 1/6. Но я не совсем права. Если бы дисперсия нормированной суммы стремилась к нулю, то из неравенства Чебышева получалась бы сходимость по вероятности к нулю, т.е. ЗБЧ. Но из того, что дисперсия не стремится к нулю, строго говоря, не следует, что не может быть сходимости к нулю по вероятности (бывают контрпримеры).

Может быть, действительно использовать характеристические функции.

[DeBill]

Если делать по Otta, то у меня получилось что последовательность средних сходится к нормальному $N(0,\frac{1}{\sqrt{6}})$... Почему то...

[--mS--]

Ну, по ЦПТ в условиях Линдеберга вполне себе сходится к нормальному. Например, https://math.stackexchange.com/question ... ution?rq=1

[Otta]

А я что-то пыталась придумать пример

alisa-lebovski в сообщении #1353625 писал(а):

Но из того, что дисперсия не стремится к нулю, строго говоря, не следует, что не может быть сходимости к нулю по вероятности (бывают контрпримеры).

и никак. Куда посмотреть?
(Вообще как-то в голове не укладывается, честно говоря.)

[--mS--]

$\xi_n=n$ с вероятностью $1/n$ и $\xi_n=0$ с вероятностью $1-1/n$. $\mathsf D\xi_n=n-1$, $\xi_n\stackrel{p}{\to}0$.

[Otta]

А ларчик просто открывался ((

Спасибо, --mS--.

[DeBill]

--mS-- в сообщении #1353679 писал(а):

ЦПТ в условиях Линдеберга

А у нас - это теорема Ляпунова, что ли (она здесь тоже работает) ?

[--mS--]

ЦПТ в условии Ляпунова тоже работает, но в условии Линдеберга проще, поскольку слагаемые $\mathsf E(\xi_k^2\cdot \mathbf I\{|\xi_k|>\varepsilon s_n\})$, где $s_n^2=\mathsf D(\xi_1+\ldots+\xi_n)\sim \frac{n^2}{6}$, с ростом $n$ просто зануляются при всех $k$. Поэтому даже нет нужды смотреть на условие Линдеберга

$$ \frac{1}{s_n^2} \sum_{k=1}^n \mathsf E(\xi_k^2\cdot \mathbf I\{|\xi_k|>\varepsilon s_n\}) \to 0, $$

левая часть в котором равна нулю при $n>\frac{6}{\varepsilon}$.