Решение одночленов в рациональных числах

[Andrey A]

Вацлав Серпинский рассматривает мини-уравнения в целых числах $xy=zt$ и $x^2=yz$. При видимой простоте, пользы от них больше чем от многих навороченных. В рациональных числах при отсутствии базовых понятий взаимной простоты, наибольшего общего делителя и т.д. подобный вопрос почти теряет смысл. Последнее уравнение, например, может быть решено так: $z=a, y=x^2/a$, третьего не дано. Однако же, при удачном выборе критерия содержательность понятия "общий делитель" не утрачивается даже для иррациональностей. Недавно на форуме ставился этот вопрос и оказался, в общем, непустым. Интуитивно каждый школьник скажет, что Н.О.Д. $(\pi \sqrt{2}, e \sqrt{2})= \sqrt{2}.$ Ну, или не каждый. Не знаю. Мне для внутреннего употребления понадобилось получить решение уравнения $XYZT=Q^2$ в одночленах. Критерий взял следующий: если в $\mathbb{Z}$ имеется общее решение уравнения $p_1q_1p_2q_2p_3q_3p_4q_4=r^2$, то отношения $\frac{p_1}{q_1}=X,\ \frac{p_2}{q_2}=Y,\ \frac{p_3}{q_3}=Z,\ \frac{p_4}{q_4}=T$ (выраженные уже в рациональных числах) являются общим решением в $\mathbb{Q}$ (пары $p_i,q_i$ вз. просты). Для меньшего количества переменных результаты оказались такие:

1. $XY=Q^2.$ $X=ABC_1^2,\ Y=A\dfrac{1}{B}C_2^2,\ Q=AC_1C_2.$
2. $XYZ=Q^2.$ $X=A_1A_2\dfrac{B_1}{B_2}C_3^2,\ Y=A_1A_3\dfrac{B_2}{B_3}C_2^2,\ Z=A_2A_3\dfrac{B_3}{B_1}C_1^2,Q=A_1A_2A_3C_1C_2C_3.$ Прослеживается закономерность.

Гипотеза. Решение одночлена из $k$ сомножителей в рациональных числах можно получить из аналогичного целочисленного решения, домножая все возможные пары сомножителей на произвольные пары обратных величин, которые в купе образуют решение уравнения $x_1x_2x_3...x_k=1$.

Пошаговый пример для $k=4$:
$\dfrac{D_1}{1},\dfrac{1}{D_1};$
$\dfrac{D_1}{1},\dfrac{1}{D_1},\dfrac{D_2}{1},\dfrac{1}{D_2};$
$\dfrac{D_1}{D_3},\dfrac{1}{D_1},\dfrac{D_2D_3}{1},\dfrac{1}{D_2};$
$\dfrac{D_1}{D_3},\dfrac{1}{D_1D_4},\dfrac{D_2D_3}{1},\dfrac{D_4}{D_2};$
$\dfrac{D_1}{D_3},\dfrac{D_5}{D_1D_4},\dfrac{D_2D_3}{D_5},\dfrac{D_4}{D_2};$
$\dfrac{D_1D_6}{D_3},\dfrac{D_5}{D_1D_4},\dfrac{D_2D_3}{D_5},\dfrac{D_4}{D_2D_6}.$

Доверившись гипотезе, получаем решение уравнения $XYZT=Q^2$:

$$X=A_1A_2A_3\dfrac{D_1D_6}{D_3}C_1^2,\ Y=A_1B_2B_3\dfrac{D_5}{D_1D_4}C_2^2,\ Z=B_1A_2B_3\dfrac{D_2D_3}{D_5}C_3^2,\ T=B_1B_2A_3\dfrac{D_4}{D_2D_6}C_4^2,$$

$$Q=A_1A_2A_3B_1B_2B_3C_1C_2C_3C_4.$$

Уравнение $XY=ZT$ тогда решается так: $X=ACE,\ Y=BD/E,\ Z=ADf,\ T=BC/F.$

Верна ли гипотеза, не избыточна ли, и нет ли тут логического объяснения? Подобные решения полезны, например, при сведении задачи к системе линейных уравнений, так что вопрос не праздный.

[Ioda]

Andrey A в сообщении #1353004 писал(а):

Н.О.Д. $(\pi \sqrt{2}, e \sqrt{2})= \sqrt{2}.$

Если мне не изменяет память, то НОД это функция определенная только на области натуральных чисел ,поэтому ваше выражение бессмысленно.

Andrey A в сообщении #1353004 писал(а):

Гипотеза. Решение одночлена из $k$ сомножителей в рациональных числах можно получить из аналогичного целочисленного решения, домножая все возможные пары сомножителей на произвольные пары обратных величин, которые в купе образуют решение уравнения $x_1x_2x_3...x_k=1$.

Яснее выразитесь, пожалуйста.

[Someone]

Что такое "решение одночлена"? Что такое "решение уравнения" пока можно считать известным, но в неудачном случае этот вопрос может всплыть.

[Andrey A]

Someone в сообщении #1353081 писал(а):

Что такое "решение одночлена"?

Вот. Надо было и мне ставить всё в кавычки :) Я извиняюсь, отвечу позже.

[Andrey A]

Ioda, Someone, нарекания принимаются. Нет хорошего ответа на плохо поставленный вопрос. Всё это для внутреннего употребления, тему можно закрывать.