Квантовое поле как физический и математический объект.

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1352726 писал(а):

После всех манипуляций в импульсном представлении получается

$$\dot{\psi}(\mathbf{p})=E_\mathbf{p}\psi(\mathbf{p}), \qquad E_\mathbf{p}=m/\sqrt{1-v^2}\approx m+mv^2/2.$$

Почти уравнение Шредингера. Только опять мнимая единица где-то потеряна.

-- Сб ноя 10, 2018 21:15:48 --

Ascold в сообщении #1352726 писал(а):

А как получить уравнение Дирака для волновой функции-биспинора, которое, хоть и порождает известные проблемы, но вероятно, не полный бред, раз правильно даёт тонкую структуру водорода, например?

Точно также, только нерелятивистского предела не делать.

[Ascold]

Alex-Yu в сообщении #1353093 писал(а):

Почти уравнение Шредингера. Только опять мнимая единица где-то потеряна.

при наборе в TeX её потерял - конечно же,

$$i\dot{\psi}(\mathbf{p})=E_\mathbf{p}\psi(\mathbf{p}).$$

Alex-Yu в сообщении #1353093 писал(а):

Точно также, только нерелятивистского предела не делать.

А, сообразил - гамильтониан взять сразу в форме

$$H=\alpha_ip_i+m\beta.$$

Кстати, раз уж коснулись уравнения Дирака для ВФ, то с ним такая непонятная вещь - у Дайсона в книге "Релятивистская квантовая механика" (2.11) при решении $H\psi=E\psi$ для электрона в кулоновском поле гамильтониан имеет вид (80):

$$H=m\beta-\frac{e^2}{r}+\frac{i\mathbf{\alpha}\cdot{\mathbf{r}}}{r}\left( \frac{\beta K}{r}-\frac{1}{r}-\frac{\partial}{\partial r}\right),$$

т.е. по смыслу матриц $\alpha$ и $\beta$ является матрицей 4 на 4. Но Дайсон далее пишет: "возьмём двухкомпонентное представление" и берёт матрицы $\alpha\cdot \mathbf{r}/r$ и $\beta$ двухрядными. Почему это допустимо, ведь четвертый порядок матриц Дирака как раз обусловлен отсутствием антикоммутирующей линейно-независимой четвёрки матриц два на два?

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1353117 писал(а):

Но Дайсон далее пишет: "возьмём двухкомпонентное представление" и берёт матрицы $\alpha\cdot \mathbf{r}/r$ и $\beta$ двухрядными. Почему это допустимо, ведь четвертый порядок матриц Дирака как раз обусловлен отсутствием антикоммутирующей линейно-независимой четвёрки матриц два на два?

Этого я не понимаю. Может имелись в виду безмассовые фермионы? Вот для них этот номер проходит (одна пара компонент отцепляется от другой). Для массивных же --- не проходит, вообще говоря. Проходит только в нерелятивистском пределе (см. ЛЛ4), когда одна пара (компонент 4-спинора) приближенно выражается через другую пару.

[Ascold]

Alex-Yu в сообщении #1353146 писал(а):

Этого я не понимаю. Может имелись в виду безмассовые фермионы?

Нет, там электрон в центрально-симметричном поле. Когда-то я любопытства ради изучил вопрос связи "релятивистской квантовой механики" с тонкой структурой атома водорода по книжке Шиффа, там всё чётко, значительно короче, чем в ЛЛ4, но без объяснений делается этот переход к матрицам 2 порядка, первоисточник нашёл у Дайсона.

Что ещё интересно в контексте квантовых полей - вот взяли мы, к примеру, достоверно 1 электрон, поместили в непроницаемый для него ящик. Как его наличие в количестве исходно 1 согласуется с фермионным полем вообще? Ну, т.е. правильно я понимаю, что существует этот электрон как возбуждение фермионного поля над его основным состоянием, создаёт вокруг себя электромагнитное поле, которое всячески флуктуирует, рождает электрон-позитронные пары, которые примерно столь же часто, как рождаются, аннигилируют?

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1353161 писал(а):

Ну, т.е. правильно я понимаю, что существует этот электрон как возбуждение фермионного поля над его основным состоянием, создаёт вокруг себя электромагнитное поле, которое всячески флуктуирует, рождает электрон-позитронные пары, которые примерно столь же часто, как рождаются, аннигилируют?

Правильно. Одночастичное решение возможно (в смысле надолго возможно) только при пренебрежении взаимодействиями, в частности, с ЭМ полем. Можно, конечно, взять за нулевое приближение, а дальше строить теорию возмущений.

Вот если КТП без взаимодействия, то 1-частичное состояние остается одночастичным, тогда волновое уравнение (например Дирака) имеет смысл без приближений.