Работа с операторами

[Neckromant]

Добрый день! Стоит следующая задача: вычислить $\exp(i(\pi/2)\hat{\sigma_x})\exp(i(\pi/2)\hat{\sigma_y})$. Пробовал раскладывать в ряды, что-то не очень выходит дельное. Еще пытался думать как о поворотах на $\pi/2$ вокруг x и y, но тоже как-то туго выходит.

[Slav-27]

А вы раскладывайте, всё получится. Возможно, будет проще, если вместо $\pi/2$ написать переменную $t$.

Ну и ответ вы уже знаете (почти).

[Gickle]

Можно ещё напрямую использовать Baker-Campbell-Hausdorff формулу. Поскольку коммутационные соотношения простые, найти закономерность должно быть несложно.

UPDT: Глупость сморозил.

[amon]

Neckromant в сообщении #1352857 писал(а):

Пробовал раскладывать в ряды, что-то не очень выходит дельное.

Ландау-Лифшиц т.3 (Квантовая механика). Задача 1 к параграфу 55 "Оператор спина".

[Neckromant]

Slav-27 в сообщении #1352866 писал(а):

А вы раскладывайте, всё получится. Возможно, будет проще, если вместо $\pi/2$ написать переменную $t$.

Ну и ответ вы уже знаете (почти).

Получаю : $ 1-i(\pi^2/4)\hat{\sigma_z}+\pi^4/64-i((\pi^6/(64*36))\hat{\sigma_z}$

[Slav-27]

Neckromant в сообщении #1352928 писал(а):

Получаю : $ 1-i(\pi^2/4)\hat{\sigma_z}+\pi^4/64-i((\pi^6/(64*36))\hat{\sigma_z}$

Совсем непохоже, где-то ошиблись.
Пишите $t$ вместо $\pi/2$, будет проще.

[g______d]

Полезно следующее наблюдение: если $A^2=I$ (единичная матрица), то $\cos(tA)=\cos(t)I$, $\sin(tA)=\sin(t)A$.

[Neckromant]

Slav-27 в сообщении #1352935 писал(а):

Neckromant в сообщении #1352928 писал(а):

Получаю : $ 1-i(\pi^2/4)\hat{\sigma_z}+\pi^4/64-i((\pi^6/(64*36))\hat{\sigma_z}$

Совсем непохоже, где-то ошиблись.
Пишите $t$ вместо $\pi/2$, будет проще.

$ \sum\limits_{n}^{} (it)^2^n(\hat{\sigma_x}\hat{\sigma_y})^n/(n!n!)) ; \hat{\sigma_x}\hat{\sigma_y}=i\hat{\sigma_z} , а \hat{\sigma_x}^2=\hat{\sigma_y}^2=1$

[g______d]

Ряды обычно перемножаются не так.

В любом случае, лучше сначала вычислить каждую экспоненту, а потом перемножить.

[Neckromant]

g______d в сообщении #1352943 писал(а):

Ряды обычно перемножаются не так.

В любом случае, лучше сначала вычислить каждую экспоненту, а потом перемножить.

Чушь сморозил
Для первой экспоненты получил:$ \cos(t)+i\sin(t)\hat{\sigma_x} = i\hat{\sigma_x} $, вторая $i\hat{\sigma_y}$. Итого, $-\hat{\sigma_x}\hat{\sigma_y}=-i\hat{\sigma_z}$А геометрический смысл можно точно сформулировать этого преобразования ?

[Slav-27]

Neckromant в сообщении #1352946 писал(а):

А геометрический смысл можно точно сформулировать этого преобразования ?

Это формула Эйлера для кватернионов.

Для комплексных чисел $e^{ti}=\cos t + i\sin t$. При выводе этой формулы не используются (грубо говоря) никакие свойства числа $i$, кроме того, что $i^2=-1$. Возьмём теперь единичный чисто мнимый кватернион $\vec n=ai+bj+ck$ (здесь $a,b,c$ -- вещественные числа, $a^2+b^2+c^2=1$). Элементарно проверяется, что $\vec n^2=-1$. Поэтому имеет место формула Эйлера для кватернионов: $e^{t\vec n}=\cos t + \vec n \sin t$.

Можно вместо $1,i,j,k$ подставить какие-нибудь комплексные матрицы с такими же коммутационными соотношениями, например единичную и $i\sigma_1, i\sigma_2, i\sigma_3$. Для них такое тоже будет верно: $e^{t(ai\sigma_1+bi\sigma_2+ci\sigma_3)}=\cos t \mathbf 1 + \sin t(ai\sigma_1+bi\sigma_2+ci\sigma_3)$.

Что касается геометрического смысла. Рассмотрим произвольный кватернион $q$ единичной нормы; проектируя на координатные оси, получаем, что он единственным образом представлятся в виде $\cos t + \vec n \sin t$ для некоторого единичного чисто мнимого кватерниона $\vec n$. Рассмотрим теперь левое (можно и правое) умножение на $q$ как оператор из $\mathbb R^4$ в $\mathbb R^4$. Что оно делает? Оно сохраняет норму, потому что норма $q$ равна 1. Поэтому это какое-то ортогональное преобразование. Если ограничиться на плоскость, натянутую на $1$ и $\vec n$, то будет просто поворот в этой поскости на угол $t$ -- как и для комплексных чисел. Делает ли это преобразование что-либо ещё? Заметим для начала, что поскольку оно сохраняет плоскость, натянутую на $1$ и $\vec n$, постольку оно сохраняет и ортогональную к ней поскость. Поэтому осталось только выяснить, что оно делает в ортогональной плоскости. Оказывается, оно и её поворачивает на угол $t$!

Любой чисто мнимый кватернион $t\vec n$ можно рассматривать как генератор такого преобразования.