Эквивалентность матриц с нулевым следом

[error420]

Доказать, что любая матрица $A \in M_n(F) $ с коэффициентами в поле $F$ характеристики нуль и с нулевым следом подобна матрице $A'$ с нулями на главной диагонали.

Я знаю, что функция $\operatorname{tr}(\mathcal{A})$ не зависит от выбора базиса оператора $\mathcal{A}$. Иными словами для любой матрицы $A$, $\operatorname{tr}(B^{-1}\cdot A\cdot B)=\operatorname{tr}(A)$. Я попытался найти матрицу полного ранга, переводящую матрицу $A$ в искомую $A'$, но придумать не получилось.

В учебнике Кострикина (том 2) предлагается следующее решение:

Я выделил маркером переход, который мне не ясен. А на нем основывается все док-во.

Заранее спасибо за помощь.

[arseniiv]

$\mathcal A\mathbf e'_i = \sum_j a'_{ij}\mathbf e'_j$, так что $a'_{11} = 0$ означает линейную независимость $\mathcal A\mathbf e'_1$ и $\mathbf e'_1$, для которой достаточно того, чтобы $\exists i\ne1.\;\mathcal A\mathbf e'_1 = \mathbf e'_i$. И даже имея поначалу лишь $\mathbf e'_1,\mathbf e'_2$, мы можем говорить за весь базис благодаря теореме о дополняемости линейно независимого множества до базиса.

[error420]

arseniiv
На сколько я понимаю имеем следующий момент: пусть имеется какой-то базис $<e_1, e_2, ... , e_n>$.
$\mathcal{A}e_1 = a_{11}e_{11} + a_{21}e_{11} + ... + a_{n1}e_{11}=e'_2 \ne \alpha \cdot e_1 \ne 0$, тогда начнем строить новый базис со следующих векторов $e'_1=e_1 , e'_2$ матрица оператора $\mathcal{A} = А$ в новом базисе $<e'_1, e'_2, ....>$ будет иметь первый столбик следующего вида [0,1,0, ... , 0]. Так мы и получаем, что $a_{11}=0$.

Такие должны быть рассуждения? Или я где-то наврал? Или подход нужен другой?

[arseniiv]

Да, только старый базис можно не упоминать: посмотрите внимательно, не обязательно $\mathbf e'_1=\mathbf e_1$. Старый базис может быть неудачным в этом плане, все его векторы могут оказаться линейно зависимыми с их образами.

[error420]

arseniiv
Этот случай вроде рассмотрен и тогда матрица $A= \alpha E$, и тогда $\alpha = 0$, если я правильно понимаю, только в таком случае я не смогу прийти к рассуждениям, описанным выше.

[arseniiv]

error420 в сообщении #1352458 писал(а):

Этот случай вроде рассмотрен

Все векторы базиса — не то же самое что все векторы вообще.

[error420]

arseniiv
Загляните пожалуйста через пару дней, если несложно, я еще раз на все посмотрю. Думаю просто еще появятся вопросы)

[arseniiv]

Вообще по логике такие вещи надо доказывать, определив след оператора через его внешнюю степень и доказав, что он равен следу матрицы, представляющей его в некотором базисе. Правда, это вместе со всеми нужными определениями и результатами займёт больше места, чем такое, но зато идейно и во многих местах должно оказаться попроще. С определителем всё аналогично.

Если интересно, можно почитать об этом в книжке Sergei Winitzki, Linear algebra via exterior products (по-английски). Это не что-то неизвестное, так что должно быть полно источников и на русском, но библиографию тут не исследовал.