Конкретное приложение теории групп

[alex55555]

Здравствуйте. Мне интересны приложения теории групп, но пока саму теорию глубоко не копал. Моя задача заключается в комбинации нескольких операций с целью получения заданного результата. С точки зрения теории групп можно привести всем известный пример такой задачи - как собрать кубик Рубика? То есть операции над кубиком и его состояния дают нам группу, а последовательность операций из произвольного состояния даёт нам решение для "сборки" кубика Рубика. При этом нам известно лишь конечное (целевое) состояние, доступные операции (операция вращения) и элементы множества состояний кубика. Как в такой постановке применить теорию групп? По каким ключевым словам искать в оглавлении учебников по теории групп, что бы найти главы, относящиеся к решению подобных поставленной на примере кубика Рубика задаче?

[arseniiv]

Это называется word problem. Некоторые системы компьютерной алгебры умеют в разной мере (конкретнее не знаю) её решать. Например, вот пост maxal, описывающий как решать конкретный пример (описанный в той же теме выше) в SAGE девятилетней давности. Возможно, он ещё работает.

[alex55555]

arseniiv в сообщении #1352227 писал(а):

Это называется word problem.

Спасибо, почитал по ссылке. Но не понял. А как это по русски называется? Может в учебнике другое определение найду.

По ссылке заявлено про некое производящее (генерирующее) множество, но в случае с кубиком множество одно (как я понимаю, включает состояния кубика и идентификаторы вращений). К этому множеству много раз применяется операция умножения положения на вращение. Результатом является положение кубика из ранее показанного множества. Поэтому непонятно, зачем нужно производящее множество.

Ну и более общий вопрос - на сколько правильно я рассуждаю, когда свожу применение теории групп к чему-то подобному:

Определяем структуру - выявляем множество, операцию, проверяем признаки группы/полугруппы/кольца/поля, затем выявляем специфический вариант структуры (группы геометрических вращений, топологических операций, группа Ли, куча других более узких по смыслу названий). По идентифицированной структуре ищем её "проработку" в теории групп, то есть теоретические выводы именно для конкретной найденной структуры. Далее смотрим на применимость выводов теории - помогает она решить задачу или нет.

С выявлением структуры пока что плохо. Вроде бы это группа, но всяческие модификации вроде "натурального отображения" и "инволюции" сбивают с пути (надо и их всех копать, что приводит к необходимости копать ещё десятки определений). Соответственно возникает мысль - а нет ли какого-либо справочника по всем структурам из теории групп? То есть этакий словарь, уже видимо из многих сотен слов, с пояснением что они значат? Хотя пока что википедия с гуглом нечто подобное заменяют.

Ну и по применимости теории - опять же даже для одной структуры есть масса лемм и теорем, которые ссылаются на кучу дополнительных структур. В общем с точки зрения новичка - месиво из многих тысяч комбинаций многих десятков (а то и сотен) базовых слов. И при этом каждое слово подразумевает тривиальнейшее понятие (как например группа - множество, операция и несколько критериев по участию в операции). Но вот комбинация понятий взрывает мозг. Плюс ещё в разных книгах используются разные символы для ряда обозначений. Хотя это уже не по теме.

[arseniiv]

Ну последние абзацы не только теории групп касаются. Это, считай, даже ко всей математике целиком можно отнести.

alex55555 в сообщении #1352257 писал(а):

А как это по русски называется?

(Подождём тех кто знает, я не помню. Английский-то термин откопал в той теме, на которую ссылался (в коде — повезло, что функцию назвали соответственно).)

alex55555 в сообщении #1352257 писал(а):

По ссылке заявлено про некое производящее (генерирующее) множество, но в случае с кубиком множество одно (как я понимаю, включает состояния кубика и идентификаторы вращений). К этому множеству много раз применяется операция умножения положения на вращение. Результатом является положение кубика из ранее показанного множества. Поэтому непонятно, зачем нужно производящее множество.

Порождающее множество — это множество элементов группы, всевозможные произведения которых дают всю группу, и для вещей типа кубика за это множество естественно взять всевозможные элементарные действия: повороты кубика и сдвиги слоёв. Нас интересует, какая последовательность их даст интересующее состояние, что и даёт частный случай задачи — выразить данный элемент группы произведением элементов из данного порождающего множества.

[alcoholist]

alex55555 в сообщении #1352257 писал(а):

А как это по русски называется?

Проблема тождества (слов)... Например, https://dxdy.ru/topic91473.html

[alex55555]

arseniiv в сообщении #1352261 писал(а):

Ну последние абзацы не только теории групп касаются. Это, считай, даже ко всей математике целиком можно отнести.

Да, сложность скорее количественная, чем качественная.

-- 07.11.2018, 16:17 --

alcoholist в сообщении #1352322 писал(а):

Проблема тождества (слов)

Спасибо, правда в русском варианте эту тему не так просто найти, так что придётся английский смотреть :)