Доказать значение предела для функции Римана

[Коровьев]

Доказать, что для функции Римана

\[ \zeta (s) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n^s }}} \]

\[ \[ \mathop {\lim }\limits_{s \to 1 + 0} (s - 1)\zeta (s) = 1 \] \]

Решение довольно простое. Указание. Воспользоваться интегральными неравенствами для члена ряда функции Римана.

[ewert]

Коровьев писал(а):

Указание. Воспользоваться интегральными неравенствами для члена ряда функции Римана.

Ну раз уж Вы привели практически полное решение -- зачем же ещё и от других требовать?

[Коровьев]

ewert писал(а):

Коровьев писал(а):

Указание. Воспользоваться интегральными неравенствами для члена ряда функции Римана.

Ну раз уж Вы привели практически полное решение -- зачем же ещё и от других требовать?

Этот раздел подразумевает посещение не только одарённых участников. И, притом, до "полного решения" ещё далеко.

[ewert]

Ну и чего тут далёкого?

$$ \int\limits_{n=1}^{\infty}{dn\over n^x} \leqslant \sum_{n=1}^{\infty}{1\over n^x} \leqslant \int\limits_{n={1\over2}}^{\infty}{dn\over n^x} \;, $$

вот и всё. Т.е. остальная работа уже чисто техническая и проходит на автомате.

----------------------------------------------
Желающим поупражняться в этой технике могу предложить чуть более сложную задачу на ту же тему: найти

$$ \lim\limits_{x\to+0}\;\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{x\over n}\cdot(1-x)^n\;. $$