Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух

[arseniiv]

Короче вот например пара $(I, I)$ как раз никуда не годится. В полугруппе не может быть двух тождественных элементов, при этом неравных. Пары $(O, O), (E, E)$ могут ещё подходить, потому что это могут быть разные расширение $O$ и $E$ на множество из трёх элементов — но при этом может нарушиться ассоциативность. Я сейчас проверю, но должны вычёркиваться именно эти три пары, потому что остальные обвинить не в чем.

-- Пн ноя 05, 2018 21:28:52 --

Так, стоп, односторонних-то единиц как раз может быть много.

[SpiderHulk]

8 ассоциативных бинарных операций указаны здесь (стр 4):
https://scholarworks.umt.edu/cgi/viewco ... ontext=tme

[arseniiv]

Плюнул на путаницу и сгенерировал все ассоциативные операции программой. В ваших обозначениях это будут

$$OO, OI, II, OE, IT, IE, TI, EE.$$

Из исходного списка сюда не входят IO, EO, EI (так что тот ваш фикс был неправильный). Правда туплю, из-за чего не могу соединить всё вместе. Пусть кто-нибудь другой объяснит, что было упущено.

[SpiderHulk]

arseniiv в сообщении #1351978 писал(а):

Из исходного списка сюда не входят IO, EO, EI (так что тот ваш фикс был неправильный)

Да, действительно

[SpiderHulk]

Преподаватель заново объяснял метод и я так понял, что с помощью этой таблицы он отобрал следующие алгебраические структуры:

$(\left\lbrace O\right\rbrace, \circ)$
$(\left\lbrace E\right\rbrace, \circ)$
$(\left\lbrace I\right\rbrace, \circ)$
$(\left\lbrace O,E\right\rbrace, \circ)$
$(\left\lbrace O,I\right\rbrace, \circ)$
$(\left\lbrace E,I\right\rbrace, \circ)$
$(\left\lbrace I,T\right\rbrace, \circ)$

Множества отображений:

$\left\lbrace O\right\rbrace$
$\left\lbrace E\right\rbrace$
$\left\lbrace I\right\rbrace$
$\left\lbrace O,E\right\rbrace$
$\left\lbrace O,I\right\rbrace$
$\left\lbrace E,I\right\rbrace$
$\left\lbrace I,T\right\rbrace$

замкнутые относительно композиции

Что значит множество отображений замкнутое относительно композиции я не понял, в лекциях такого нет

Он объяснил, что множество $\left\lbrace T\right\rbrace$ не нужно, так как $(\left\lbrace T\right\rbrace, \circ)$ не структура.
$T\circ T=I$
$T^2=I$

А вот почему не нужны $\left\lbrace O,T\right\rbrace$ и $\left\lbrace E,T\right\rbrace$ не объяснил, видимо эти множества не являются замкнутыми относительно композиции

[arseniiv]

SpiderHulk в сообщении #1356772 писал(а):

Что значит множество отображений замкнутое относительно композиции я не понял, в лекциях такого нет

Подмножество $X\subset A$ замкнуто относительно операции $f\colon A^n\to A$, если применением $f$ к элементам $X$ нельзя выйти из $X$. Говоря точно, $f(X^n)\subset X$, ну или более развёрнуто, $\forall x_1,\ldots,x_n\in X.\,f(x_1,\ldots,x_n) \in X$.

SpiderHulk в сообщении #1356772 писал(а):

$(\left\lbrace O\right\rbrace, \circ)$
$(\left\lbrace E\right\rbrace, \circ)$
$(\left\lbrace I\right\rbrace, \circ)$

Но тут же по одному элементу, а нужно по два.

[SpiderHulk]

arseniiv в сообщении #1356874 писал(а):

Но тут же по одному элементу, а нужно по два

В конспекте записано именно так, но возможно это следует понимать как:
$(\left\lbrace O,O\right\rbrace, \circ)$
$(\left\lbrace E,E\right\rbrace, \circ)$
$(\left\lbrace I,I\right\rbrace, \circ)$

[arseniiv]

В общем мутная какая-то тема выходит. Вроде применение теоремы типа Кэли должно быть простым, но если идти как здесь, что-то вроде не стыкуется (отчего я там выше ерунду написал, ну вы видели), а разбираться лень что-то…