Непрерывный Винеровский процесс

[bubu gaga]

Две книги, две разных точки зрения. В одной написано, что из каждого элементарного события из $\Omega$ винеровский процесс производит непрерывную функцию $\omega \mapsto W_\omega(t)$. В другой написано, что Винеровский процесс это множество случайных величин $\Bigl\{ \; W_t \; : \; 0 \le t < \infty, \; \; \; W_t - W_s \sim N(0, \; s - t) \; \Bigr\}$

Пытаюсь понять стохостические интегралы (Риманна, Стильтеса и Ито), так что вопрос возник в этом контексте. Непонятно, толи мы интегрируем кучу траекторий, и смотрим, как полученные значения интеграла зависят от $\omega$, толи мы складываем постоянно увеличивающееся количество случайных инкрементов? Как к этим интегралам подступиться?

Спасибо.

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Две книги, две разных точки зрения. В одной написано, что из каждого элементарного события из $\Omega$ винеровский процесс производит непрерывную функцию $\omega \mapsto W_\omega(t)$. В другой написано, что Винеровский процесс это множество случайных величин $\Bigl\{ \; W_t \; : \; 0 \le t < \infty, \; \; \; W_t - W_s \sim N(0, \; s - t) \; \Bigr\}$

Сюда необходимо добавить, что $W_0=0$ и приращения независимы в совокупности. (а еще $t-s$ вместо $s-t$, хотя это и неважно ввиду симметричности). Вообще, не каждый винеровский процесс п.н. имеет непрерывные траектории. Но в.п. с непр. траекториями существуют, и известны способы явного построения.
Одним словом все винеровские процессы совпадают по распределению, но не п.н. Для большинства задач удобно работать с в.п., имеющими п.н. непрерывные траектории. Это значительно увеличивает число "хороших" событий в поведении процесса.

bubu gaga писал(а):

Пытаюсь понять стохостические интегралы (Риманна, Стильтеса и Ито), так что вопрос возник в этом контексте. Непонятно, толи мы интегрируем кучу траекторий, и смотрим, как полученные значения интеграла зависят от $\omega$, толи мы складываем постоянно увеличивающееся количество случайных инкрементов? Как к этим интегралам подступиться?
Спасибо.

В случае интеграла Римана (по $dt$) можно интегрировать траектории для каждого $\omega$. Но лучше понимать во втором смысле. Особенно, в выражении

$$ \int\limits_0^t W_s\,ds $$

Эти интегралы обычно стохастическими не называют. Если рассматривать интегралы по винеровскому процессу (по $dW_t$) (и вообще, по случайной ортогональной мере) от неслучайных функций, то тут схема другая, здесь именно второй вариант - "сложение случайных инкрементов" (интегрирование для каждого $\omega$ не имеет смысла, ввиду того, что траектории в.п. имеют п.н. неограниченные вариации). В интеграле Ито схема такая же, но есть свои тонкости.

[bubu gaga]

Вот интеграл Стильтьеса.
$ \int_0^T{f(t) \; dW(t)} $

Мы разбиваем время $[0, T]$ на равные интервалы. С уменьшением этих интервалов наша функция $f(t)$ ведёт себя почти как константа. В Римановском интеграле мы разбиваем область определение на интервалы, аппроксимируем интегрируемую функцию точкой и собираем всё назад. В сумме получаем точное значение под кривой.

Я знаю что я где-то очень торможу, но непонятно почему в то же самое время $dW$ не вырождается в п.н. постоянную величину? Или это тот случай, когда нельзя пренебрегать событими с вероятностью ноль?

Спасибо.

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Я знаю что я где-то очень торможу, но непонятно почему в то же самое время $dW$ не вырождается в п.н. постоянную величину? Спасибо.

Не совсем понял, что Вы имеете пожд этим в виду. $\omega$ фиксировать однозначно нельзя (как минимум по двум причинам, о первой я уже написал выше).$dW$ по отрезку это случайная величина. При уменьшении отрезка куда ей вырождаться? В какую константу? ну в каком-то смысле "в почти наверный ноль".
Кстати, сходимость в таком интеграле понимается в среднем квадратичном (в $L^2(\Omega)$).
И не стоит называть это интегралом Стильтеса. Это совершенно другой объект. (хотя кто знает, может есть гибкость терминологии) Ну если с натяжкой, то можно провести параллель с интегралом только не Римана-Стильтеса, а Лебега.

[bubu gaga]

Henrylee писал(а):

При уменьшении отрезка куда ей вырождаться? В какую константу? Мы этого сказать не можем. Или есть версии?

Мысль примерно такая, раз дисперсия уменьшается, то можно придумать что-то вроде такого критерия: для любой вероятности $p_\epsilon < 1$ и расстояния $\epsilon > 0$ существует $\Delta t$ такое, что

$P \Bigl( \bigl| X_{t + \Delta t} - X_t \bigr| < \epsilon \Bigr) > p_\epsilon$.

Примерно так, а потом подумал, что такая конструкция наверное мало чем отличается от константы, хотя конечно обосновать этого не могу.

[Henrylee]

Ну вот я данный текст изменил, вроде поняв, что Вы имели в виду, но опять написал не то. Вроде как Ваше условие правдоподобно выглядит. Что-то типа вырождения в ноль по вероятности. Но только зачем все это. Подходите к этому интегралу с позиции Лебега. То есть $dW$ на самом деле это случайная ортогональная мера $Z$ интервальчика $dt$. Интеграл от простых функций тогда - это сумма произведений значений функции $f$ на эту меру $Z$ нужных множеств. итд

Добавлено спустя 1 час 20 минут 41 секунду:

И еще добавочка. Казалось бы, переходя к интегралу по случайной ортогональной мере $Z$, он становится похож на интеграл Лебега с параметром $\omega$. Однако вкладывать такой смысл неверно, так как при фиксированном $\omega$ $Z(\omega)$ как функция множества не является $\sigma$-аддитивной мерой.

[bubu gaga]

Henrylee писал(а):

Подходите к этому интегралу с позиции Лебега.

Какой из двух интегралов Вы имеете в виде?

$$ \int_{R} f(t) \; \mu \bigl(f^{-1}(df)\bigr) $$

или

$$ \int_{[0, T]} f(t) \; \mu (dt) $$

И если действительно надо интегрировать по $dt$ (второй случай), то как мне интерпретировать $\mu(dt)$. Это вероятность чего?

Henrylee писал(а):

То есть на самом деле это случайная ортогональная мера

Вы не могли бы проверить и заполнить пробел: $dW(t)$ это случайная величина определённая на $\Omega$, значениями которой являются вероятности ... (чего)?

И ещё я не нашёл в книгах упоминание о случайной ортогональной мере. Есть product measure, но думаю это не то. Куда податься?

[Narn]

У Розанова в книге "Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика" есть про ортогональные меры и про интеграл Ито. А product measure - это, скорее всего, мера на произведении двух пространств с мерой.

[Henrylee]

bubu gaga писал(а):

Henrylee писал(а):

Подходите к этому интегралу с позиции Лебега.

Какой из двух интегралов Вы имеете в виде?

$$ \int_{R} f(t) \; \mu \bigl(f^{-1}(df)\bigr) $$

или

$$ \int_{[0, T]} f(t) \; \mu (dt) $$

Первая запись мне вообще непонятна, но, в любом случае, я не имел в виду ни тот ни другой. Как я уже сказал, Лебега я упомянул только за-ради идеи, но это не есть интеграл Лебега в классическом смысле. Я имею в виду вот что

$$ \int\limits_0^T f(t)\,dW_t=\int\limits_{[0,T]}f(t)\,Z(dt) $$

здесь на самом деле орт. случ. мера $Z=Z(B,\omega),\ \omega\in\Omega,\ B$ - борелевское множество на прямой. Если фиксировать здесь $B$, то получим случайную величину, если фиксируем $\omega$, получим конечно-аддитивную меру на прямой. Вот эта наша конкретная $Z$ в данном контексте порождена винеровским процессом, т.е. (аргумент $\omega$ опускаю для краткости) $Z([a,b])=W_b-W_a$.

bubu gaga писал(а):

Henrylee писал(а):

То есть на самом деле это случайная ортогональная мера

Вы не могли бы проверить и заполнить пробел: $dW(t)$ это случайная величина определённая на $\Omega$, значениями которой являются вероятности ... (чего)?

Постараюсь внести ясность. Когда я говорил, что $dW_t$ - случайная величина, я имел в виду маленькое приращение винеровского процесса (а это, при фисированном промежутке $dt$, случайная величина, как Вы знаете, со значениями в $\mathbb{R}$). Запись $dW_t$ под знаком такого интеграла как раз и понимается как интегрирование по орт. случ. мере, порожденной этим процессом. Т.е. $dW_t=Z(dt)$ - при фиксированном $dt$ это как раз случ. величина.
Мне кажется я ответил на вопрос. Или нет?

bubu gaga писал(а):

И ещё я не нашёл в книгах упоминание о случайной ортогональной мере. Есть product measure, но думаю это не то. Куда податься?

Кроме указанной Narn книги, посмотрите Булинский Ширяев Теория случ. процессов. Глава про стационарные процессы. Там орт. случайные меры есть, и как интересующие Вас интегралы строятся.

[Zo]

Привет, раз уж тут про ссылки заговорили, то по-моему, гораздо доступнее и проще это все изложено здесь http://lib.mexmat.ru/books/7443 - все-таки Ширяев при всем том, что у него материал очень строго и полно изложен, весьма тяжел (имхо) для чтения.

Henrylee
а вы не могли бы подсказать, в каких приложениях реально используются интегралы Ито? (я как-то пытался найти, но ничего реально используемого не нашел)

[Henrylee]

Zo писал(а):

Henrylee
а вы не могли бы подсказать, в каких приложениях реально используются интегралы Ито? (я как-то пытался найти, но ничего реально используемого не нашел)

Классический пример - уравнение Ланжевена движение частицы в вязкой среде со стохастическим возмущением.

[finanzmaster]

bubu gaga писал(а):

...
Пытаюсь понять стохостические интегралы (Риманна, Стильтеса и Ито)

Сначала немножко уточним терминологию.
"Стохастический интеграл" и "Интеграл Ито" - это, в силу исторических причин, синонимы.
Что ведет к некоторой двусмысленности.
А именно, Ито в 1944 году опубликовал статью Stochastic integral. (In: Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524).
Но позже были определены и другие стохастические интегралы, например, Стратоновича.

Стохастических интегралов Римана-Стильтеса (насколько мне известно) нет.

Теперь что касается попыток строить стохастический интеграл (от винеровского процесса), то можно подходить в смысле Лебега, и тут мне нечего добавить к сказанному Henrylee

Строить же стохастический интеграл с точки зрения Римана-Стильтеса затруднительно, т.к. винеровский процесс (а точнее, почти все его траектории) имеет неограниченную вариацию 1-го порядка.
Я к сожалению не помню технических деталей, но посмотрите, например
Рудина, там наверняка оговаривается, почему ограниченная вариация интегратора существенна для интеграла Стильеса.

А вот квадратическая вариация Винеровского процесса ограничена (а последующие и вовсе равны нулю), что и позволило Ито подойти к проблеме с точки сходимости в среднем квадратичном

Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд:

Zo писал(а):

а вы не могли бы подсказать, в каких приложениях реально используются интегралы Ито? (я как-то пытался найти, но ничего реально используемого не нашел)

Ну так ёлки - финансовая математика (в смысле прайсинг деривативов) на этом стоит!
Там больше используется Ито-формула для дифференциалов случайного процесса, но это те же яйца только в профиль

[Brukvalub]

finanzmaster в сообщении #135160 писал(а):

Я к сожалению не помню технических деталей, но посмотрите, например
Эта ссылка относится к книге из библиотеки мехмата МГУ Рудина, там наверняка оговаривается, почему ограниченная вариация интегратора существенна для интеграла Стильеса.

А Вы попробуйте проинтегрировать хотя бы константу по Стильтьесу с интегратором неограниченной вариации, и все станет понятно

[PAV]

Я бы посоветовал книгу Вентцель "Курс теории случайных процессов". По-моему, она написана очень понятно и освещает многие вопросы, в том числе и те, которые мы обсуждали раньше.

[Zo]

finanzmaster в сообщении #134873 писал(а):

Ну так ёлки - финансовая математика (в смысле прайсинг деривативов) на этом стоит! Smile
Там больше используется Ито-формула для дифференциалов случайного процесса, но это те же яйца только в профиль

Что-то читал мнения практиков, в том числе вроде и на этом форуме, что используется то используется, только в итоге это ненужно. Это как в актуарной математике методы резервирования выводятся через всякие там условные мат. ожидания и кучу предположений о стох. природе убытков и их развитии (которые на практике ввиду малого количества данных проверить просто нельзя). Хотя реально это никому не нужно и все используемые методы резервирования придут в голову любому разумному человеку без всякого знания тервера

Henrylee в сообщении #135138 писал(а):

Классический пример - уравнение Ланжевена движение частицы в вязкой среде со стохастическим возмущением.

вы не могли бы подсказать, где почитать про это и реально ли есть технические задачи, где инженеры успешно используют эти уравнения?