Кривая максимального угла

[StaticZero]

Пусть есть отрезок $\gamma: t \in [0, 1] \mapsto \mathbb R^2$ гладкой кривой длины $\pi/2$, один конец которого закреплён в точке $(1, 0)$. Определить форму этого отрезка так, чтобы интеграл

$$ S = \int \limits_0^1 \dot \varphi \, \mathrm dt $$

был максимален.

Положим $\mathcal L = \dot \varphi + \lambda \sqrt{\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2}$, здесь $\varphi$ --- циклическая переменная: $\frac{\partial \mathcal L}{\partial \varphi} = 0$,

$$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \varphi} = C = 1 + \dfrac{\lambda r^2 \dot \varphi}{\sqrt{\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2}} $$

так как имеется свободный конец, то при этом $\left.\partial \mathcal L/\partial \dot \varphi\right|_{t = 1} = 0$, откуда $C = 0$ и имеем уравнение

$$ \begin{align*} \sqrt{\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2} = - \lambda r^2 \dot \varphi \\ \dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 = \lambda^2 r^4 \dot \varphi^2 \\ \dot r^2 = r^2 \dot \varphi^2 (\lambda^2 r^2 - 1) \\ \frac{\mathrm d r}{r \sqrt{\lambda^2 r^2 - 1}} = \mathrm d \varphi \\ - \arctg \left(\frac{1}{\sqrt{\lambda^2 r^2 - 1}}\right) = \varphi - \varphi_0 \\ \lambda^2 r^2 \tg^2 (\varphi - \varphi_0) = \frac{1}{\cos^2 (\varphi - \varphi_0)} \\ r^2 = \frac{1}{\lambda^2 \sin^2 (\varphi - \varphi_0)} \end{align*} $$

Это уравнение прямой в полярных координатах. Связь между постоянными сразу видна такая: $\lambda^2 \sin^2 \varphi_0 = 1$. Ещё есть условие

$$ \int \limits_0^1 \sqrt{\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2} \ \mathrm dt = - \lambda \int \limits_0^{\varphi_1} r^2 \ \mathrm d \varphi = -\frac{1}{\lambda} \int \limits_0^{\varphi_1} \frac{\mathrm d \varphi}{\sin^2 (\varphi - \varphi_0)} = \frac{\ctg (\varphi_1 - \varphi_0) + \ctg \varphi_0}{\lambda} = \frac{\pi}{2} $$

Два уравнения и три неизвестных $\lambda, \varphi_0, \varphi_1$, $\varphi_1$ здесь --- угловая координата конца отрезка. Как найти эти неизвестные? Может, я чего-то упустил?

[Sender]

Эм, а что нам мешает взять что-то наподобие куска логарифмической спирали, добившись сколь угодно большого значения $\varphi$?

[StaticZero]

Sender в сообщении #1351184 писал(а):

Эм, а что нам мешает взять что-то наподобие куска логарифмической спирали, добившись сколь угодно большого значения $\varphi$?

Быть может и ничего. Но я хотел бы рассмотреть сей вопрос с формальной точки зрения...

[DeBill]

StaticZero в сообщении #1351180 писал(а):

Может, я чего-то упустил?

Ну, вообще то, у Вас две неизвестных функции...Но, почему то, использовалась только половина от Эйлера-Лагранжа...

(Оффтоп)

Экстремаль, конечно, можно найти чисто геометрически. И видим: проблемы у нас, потому как половинка от пи больше 1....
Можно: подойти к нулю близко, сто раз повернуться вокруг нуля, отойти в сторонку...Блин, функционал - не ограничен, однако.
Но вот если длина - меньше 1, то - геометрия дает сразу честный ответ

[StaticZero]

DeBill в сообщении #1351237 писал(а):

проблемы у нас, потому как половинка от пи больше 1

Да, я от балды чиселко взял, не подумал даже о том, что это так существенно. Ну пусть длина кусочка будет $\pi/4$. Второе уравнение превращается в

$$ 0 = \frac{\partial \mathcal L}{\partial r} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot r} = \frac{\lambda r \dot \varphi }{(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2)^{3/2}} \left( 2 \dot r^2 \dot \varphi + r^2 \dot \varphi^3 - r \ddot r \dot \varphi + \dot r r \ddot \varphi \right)$$

Одно из решений $\dot \varphi = 0$. Поищем второе. Обозначим $R = \dot r/r$, $\psi = \dot \varphi$, $\psi/R = \Phi$. Запишем

$$ 0 = 2 \dot r^2 \dot \varphi + r^2 \dot \varphi^3 + r \dot r \ddot \varphi - r \dot \varphi \ddot r $$

$$ 0 = 2 \psi R^2 + \psi^3 + R \dot \psi - \psi \frac{\ddot r}{r} = 2 \psi R^2 + \psi^3 + R \dot \psi - \psi (\dot R + R^2) = \psi R^2 + \psi^3 + R^2 \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\psi}{R} $$

$$ 0 = \psi R^2 \left(1 + \frac{\psi^2}{R^2} \right) +R^2 \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\psi}{R} $$

Одно решение $R = 0$, откуда $\dot r = 0$, $r = \operatorname{const}$. Поищем второе. Обозначим $\Phi = \psi/R$.

$$ 0 = \psi \left(1 + \Phi^2\right) + \dot \Phi $$

$$ \frac{\mathrm d \Phi}{1 + \Phi^2} = - \psi \ \mathrm dt = - \mathrm d \varphi $$

$$ - \arctg \Phi = \varphi - \varphi_2, \quad \Phi = \dot \varphi / R= - \tg (\varphi - \varphi_2) $$

$$ \frac{\mathrm d \varphi}{\tg (\varphi - \varphi_2)} = -R \ \mathrm dt = - \mathrm d \ln r $$

$$ \ln | \sin (\varphi - \varphi_2) | = - \ln \left| \frac{r}{r_2} \right| $$

$$ | \sin (\varphi - \varphi_2)| = \left|\frac{r_2}{r}\right| $$

$$ r^2 = \frac{r_2^2}{\sin^2 (\varphi - \varphi_2)} $$

Это решение первого уравнения Эйлера-Лагранжа. Если это самое первое уравнение (с $\varphi, \dot \varphi$) обращено в тождество, то второе, которое тут исследовано, удовлетворено автоматически.

Ещё два решения мы выделили по ходу дела: $r = \operatorname{const}$ и $\varphi = \operatorname{const}$. Второе, ясно, не решение задачи. Касательно первого заметим, что оно решает и первое уравнение Э.-Л. при том условии, что $\lambda^2 r^2 - 1 = 0$. Из начальных условий тогда понятно, что $\lambda^2 = 1$, конечная точка (которую мы получим, например, из условия на длину кривой) имеет координаты $r = 1, \varphi_1 = \pi/4$.

У меня вопросы остаются такие:
1) можно ли явно найти $\varphi(t), r(t)$?
2) что это за экстремаль, которая является прямолинейным отрезком, и как наконец найти эти параметры, которых больше, чем уравнений?

-- 03.11.2018 в 00:09 --

А, ещё же есть второе условие на свободном конце: $\dot r (t = 1) = 0$. Если развернуть, то будет $\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\varphi} \dot \varphi (t = 1) = 0$. Величина $\dot \varphi $ в ноль обратиться не может из-за первого интеграла задачи. Значит, $r_\varphi (\varphi_1) = 0$. Придём к тому, что $\cos (\varphi_1 - \varphi_0) = 0$. Значит, $\varphi_1 - \varphi_0 = \pi/2 + \pi n$. Достаточно ограничиться возможными значениями $n = 0, 1$, тогда можно написать всего лишь $\varphi_1 = \varphi_0 \pm \frac{\pi}{2}$. Из начальных условий $\lambda^2 \sin^2 \varphi_0 = 1$. Из условия на длину отрезка

$$ \frac{\ctg (\varphi_1 - \varphi_0) + \ctg \varphi_0}{\lambda} = \frac{\ctg \varphi_0}{\lambda} = L, \quad \frac{\ctg^2 \varphi_0}{\lambda^2} = \ctg^2 \varphi_0 \sin^2 \varphi_0 = \cos^2 \varphi_0 = \sin^2 \varphi_1 = L^2, \ 1/\lambda^2 = 1 - L^2. $$

Получаем тогда экстремаль

$$ r = \frac{\sqrt{1 - L^2}}{| \cos (\varphi - \varphi_1)|}, \quad \text{где} \ |\varphi_1| = \arcsin L,$$

на которой функционал принимает максимальное значение $\varphi_1$.

Остаётся тогда только первый вопрос: как найти $r(t), \varphi(t)$?

[DeBill]

StaticZero в сообщении #1351180 писал(а):

Определить форму э

Ну, так Вы как раз "форму " эту и нашли...
А - вааще: ясно же, что решений - до фига: одна и та же кривая допускает уйму параметризаций (и все они - подходят).
Так что - ничего удивительного, все правильно. И ответ мы могли и сразу угадать: надо из точки провести окружность радиуса"длина кривой", и из нуля - касательную к ней. Отрезок из точки в точку касания - искомый. (осталось сравнить с решением, найденным Вами).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- просьба ТС о внесении исправлений.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[StaticZero]

DeBill, я исправил свою ошибку и теперь ответы совпадают.

Остаётся такой вопрос. Как исследуется тип экстремума функционала многих функций? Для одной все понятно и написано в книжках. Для многих по аналогии рассмотрим (например, для данного случая)

$$ S(r+h, \dot r + \dot h, \varphi + k, \dot \varphi + \dot k) - S(r, \dot r, \varphi, \dot \varphi) = \int \limits_0^1 \mathrm dt \ \left(\text{члены из Эйлера-Лагранжа} + \frac{1}{2} \sum_{i, j} \frac{\partial^2 \mathcal L}{\partial x_i \partial x_j} h_i h_j + \varepsilon \right) $$

здесь образные обозначения: $x_i$ берётся из набора $r, \dot r, \varphi, \dot \varphi$, $h_i$ --- из набора $h, \dot h, k, \dot k$ соответственно. Всего разных комбинаций будет десять. Члены с Лагранжем обнулим, а $\varepsilon$, вроде как, более высокого порядка по приращениям (типа $o(h, k)$), и будем исследовать то, что осталось. А исследовать как? Как квадратичную форму четырёх переменных, которую тестировать на положительную определённость?