Найти сторону треугольника

[azmt]

Приветствую. Задача найти длину стороны АВ. В прямоугольный треугольник АВС вписан квадрат со стороной 1. Пусть $x$ искомая сторона, $y$ катет зеленого треугольника. Тогда

$$\frac{y}{1}\frac{1}{x-1} \Rightarrow yx-y=1$$

.

По теореме Пифагора:

$$\frac{(1+y)^2}{y^2} + (1+y)^2 = 25 $$

Откуда получаем уравнение:
$1+2y-23y^2 + 2y^3 + y^4=0 $. Откуда приближённо получаем $y=3,84$.
Собственно, вопрос в том, что вызывает сомнение данное решение. Прошу помочь найти другое решение.

[TOTAL]

azmt в сообщении #1350780 писал(а):

Задача найти длину стороны АВ. В прямоугольный треугольник АВС вписан квадрат со стороной 1.

Что ещё известно про треугольник?

[wrest]

azmt в сообщении #1350780 писал(а):

Откуда приближённо получаем $y=3,84$.

Ответ верный.
Но ответов два, еще надо найти второй.

[azmt]

Я не написал полученное значение $x=1,26$. Если подставить $y=3,84$ в выражение $yx-y=1$. Про треугольник еще известно что гипотенуза равна пяти.

[wrest]

azmt
Решения ДВА:

[azmt]

Честно сказать, не понимаю как один и тот же катет может два разных значения иметь.

[wrest]

azmt в сообщении #1350780 писал(а):

$1+2y-23y^2 + 2y^3 + y^4=0 $. Откуда приближённо получаем $y=3,84$.

Распишите как решали уравнение.

[azmt]

Решал онлайн численно. На сайте https://planetcalc.ru/7709/

[wrest]

azmt в сообщении #1350813 писал(а):

Решал онлайн численно.

А в радикалах не получилось?

[azmt]

Второе значение корня в уравнении четвертой степени $y_2 = 0,26$ и тогда катет равен $x=4,84$ приблизительно.

[wrest]

azmt в сообщении #1350852 писал(а):

Второе значение корня в уравнении четвертой степени $y_2 = 0,26$ и тогда катет равен $x=4,84$ приблизительно.

Да, верно.
В радикалах оно тоже решается, но довольно муторно, см. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0 ... 0%B8%D0%B5

[wrest]

azmt
Вообще, вот эта конструкция с квадратом в треугольнике, еще имеет такое неожиданное "применение" в геометрической оптике:

Если сторона черного квадрата равна фокусному расстоянию тонкой линзы, то $AB$ и $AC$ это расстояния от объекта до линзы и от изображения до линзы.
В вашем случае, если фокусное расстояние тонкой линзы равно $1$, а расстояние от линзы до объекта равно $4,84$ то расстояние от линзы до изображения объекта равно $1,26$, а тангенс угла наклона $BC$ равен увеличению (во сколько раз изображение объекта больше объекта) - примерно $0,26$ для этих значений.

[TOTAL]

wrest в сообщении #1350857 писал(а):

В радикалах оно тоже решается, но довольно муторно

Вот как муторно:

$$5^2=(p+1/p)^2+2(p+1/p), \quad p+1/p= \cdots, \quad p= \cdots$$

[wrest]

TOTAL в сообщении #1351028 писал(а):

Вот как муторно:

Ну да, сперва одно кв. у-ие, потом второе.