Ну если я верно понял статью
http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200633.pdf (поправьте если неверно), то в ней говорится,
Let

, and let

be an

-gon with vertices

no three of which are collinear. The following are equivalent.
(1) There is an ellipse which is tangent to the edges of

at their midpoints.
(2)

is affine-equivalent to

for some primitive

th root of unity

.
(3) There is a primitive

th root of unity

and complex constants

such that

and, for

,

.
что если четырехугольник аффинно-эквивалентен квадрату, то существует эллипс касающийся середин сторон этого четырехугольника, а фокусы такого эллипса -- корни производной полинома, корни которого являются вершинами четырехугольника.
Ну это как бе... не очень помогает в нелегкой работе по вписыванию эллипсов в произвольные четырехугольники, поскольку
произвольный четырехугольник не может быть переведен аффинным преобразованием в квадрат.
Попутно вопрос великому магу аффинных преобразований
arseniiv (если кто знает ответ, то и к ним тоже): если произведения противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, означает ли это, что такой четырехугольник аффинно эквивалентен квадрату?
Да, тут собсно и проявляется разница: любой треугольник аффинно преобразуется в равносторонний треугольник, но не любой четырехугольник аффинно преобразуется в квадрат :(
В соседней теме я приводил ссылку на доказательство того, что центры вписанных в четырехугольник эллипсов образуют отрезок между серединами диагоналей четырехугольника, и там автор доказывал это на примере четырехугольника такого, что три стороны его это вершины единичного квадрата, а четвертая произвольная (т.е. три вершины преобразуем в равнобедренный прямоугольный треугольник, с вершинами в

, а четвертую -- как получится).