Теорема Мардена для четырехугольника

[wrest]

Есть такая теорема Мардена для комплексного многочлена третьей степени:

Предположим, что нули $z_1, z_2, z_3$ многочлена $p(z)$ третьей степени неколлинеарны. Существует единственный эллипс, вписанный в треугольник с вершинами $z_1, z_2, z_3$ и касающийся его сторон в серединах: эллипс Штейнера. Фокусы этого эллипса $z_1',z_2'$ и есть нули производной $p'(z)=(z-z_1')(z-z_2')$

А если у нас есть неколлинеарные нули комплексного многочлена 4-й степени, $p(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)$, то нули его производной будут лежать внутри четырехугольника $z_1,z_2,z_3,z_4$, а вот что это будут за точки -- какие-то особые точки?

Есть ли какой-то аналог теоремы Мардена на случай комплексного многочлена четвертой степени?

[grizzly]

wrest в сообщении #1350529 писал(а):

Есть ли какой-то аналог теоремы Мардена на случай комплексного многочлена четвертой степени?

Да. Причём, первое что приходит в голову, им и оказывается:

англовики в статье про Теорему Мардена писал(а):

Another generalization (Parish (2006)) is to $n$-gons: some $n$-gons have an interior ellipse that is tangent to each side at the side's midpoint. Marden's theorem still applies: the foci of this midpoint-tangent inellipse are zeroes of the derivative of the polynomial whose zeroes are the vertices of the $n$-gon.

Вы опоздали на 12 лет :)
В статье есть ещё одно любопытное обобщение.

-- 31.10.2018, 16:06 --

А вот если многоугольник произвольный, тогда интересно, не будут ли корни производной как-то связаны с $n$-эллипсом (аналог эллипса, имеющий $n$ фокусов). Как-то быстро я ничего такого найти не смог. Может, проще провести какой-то численный эксперимент, а тогда уже искать?

[wrest]

grizzly в сообщении #1350554 писал(а):

Вы опоздали на 12 лет :)

Всего-то?
Но ведь производная полинома четвёртой степени это полином 3-ей степени, а у него три корня, что на один больше чем у эллипса фокусов.
И потом: через каждую точку произвольного четырехугольника проходит единственный вписанный эллипс, так что в общем случае эллипс, который касается всех четырех середин сторон, не существует.
У эллипса Штейнера есть еще то свойство, что он максимальный по площади вписанный в данный треугольник.

[arseniiv]

wrest в сообщении #1350560 писал(а):

Но ведь производная полинома четвёртой степени это полином 3-ей степени, а у него три корня, что на один больше чем у эллипса фокусов.

Вероятно, они кратные.

[grizzly]

wrest в сообщении #1350560 писал(а):

И потом: через каждую точку произвольного четырехугольника проходит единственный вписанный эллипс, так что в общем случае эллипс, который касается всех четырех середин сторон, не существует.

Ну так там по условию рассматривается такой, для которого существует (я так понял). Саму статью я ещё не смотрел.

По поводу произвольного четырёхугольника я дописал свою "гипотезу" в конец прошлого сообщения. (В кавычках, поскольку слишком маловероятно, но всё равно какая-то связь с $n$-эллипсом напрашивается.)

-- 31.10.2018, 16:26 --

wrest
И то, другое, обобщение в англовики тоже посмотрите (там всего 2 в коротеньком разделе, на который я дал ссылку).

[wrest]

arseniiv в сообщении #1350561 писал(а):

Вероятно, они кратные.

А, ну да, наверное. Там же написано что "some n-gons", так что к произвольному 4-угольнику не применимо.

-- 31.10.2018, 16:30 --

grizzly в сообщении #1350564 писал(а):

И то, другое, обобщение в англовики тоже посмотрите (там всего 2 в коротеньком разделе, на который я дал ссылку).

Да, посмотрел. Надо смотреть статью...

[wrest]

Ну если я верно понял статью http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200633.pdf (поправьте если неверно), то в ней говорится,

Let $n ≥ 3$, and let $G$ be an $n$-gon with vertices $v_0,...,v_{n−1},$ no three of which are collinear. The following are equivalent.
(1) There is an ellipse which is tangent to the edges of $G$ at their midpoints.
(2) $G$ is affine-equivalent to $G (\zeta)$ for some primitive $n$th root of unity $\zeta$.
(3) There is a primitive $n$th root of unity $\zeta$ and complex constants $g, u, v$ such that $|u| \ne |v|$ and, for $k = 0,...,n-1$, $v_k = g + u\zeta ^k + v\zeta ^{-k}$.

что если четырехугольник аффинно-эквивалентен квадрату, то существует эллипс касающийся середин сторон этого четырехугольника, а фокусы такого эллипса -- корни производной полинома, корни которого являются вершинами четырехугольника.
Ну это как бе... не очень помогает в нелегкой работе по вписыванию эллипсов в произвольные четырехугольники, поскольку произвольный четырехугольник не может быть переведен аффинным преобразованием в квадрат.

Попутно вопрос великому магу аффинных преобразований arseniiv (если кто знает ответ, то и к ним тоже): если произведения противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, означает ли это, что такой четырехугольник аффинно эквивалентен квадрату?

Да, тут собсно и проявляется разница: любой треугольник аффинно преобразуется в равносторонний треугольник, но не любой четырехугольник аффинно преобразуется в квадрат :(
В соседней теме я приводил ссылку на доказательство того, что центры вписанных в четырехугольник эллипсов образуют отрезок между серединами диагоналей четырехугольника, и там автор доказывал это на примере четырехугольника такого, что три стороны его это вершины единичного квадрата, а четвертая произвольная (т.е. три вершины преобразуем в равнобедренный прямоугольный треугольник, с вершинами в $(0;0),(0;1),(1;0)$, а четвертую -- как получится).

[arseniiv]

Ну какой из меня маг. Нет, не означает: возьмём квадрат и утащим одну из его вершин вдоль диагонали, которая из неё исходила изначально, и произведения останутся равными, но аффинно перевести такой четырёхугольник в квадрат можно только если он уже и так квадрат. Простой пример этого: можно сделать его невыпуклым, но аффинные преобразования сохраняют выпуклость.

-- Ср окт 31, 2018 20:10:09 --

И да, я же писал в какой-то теме, что квадрат аффинно переводится только в параллелограмм?

[wrest]

arseniiv в сообщении #1350601 писал(а):

И да, я же писал в какой-то теме, что квадрат аффинно переводится только в параллелограмм?

Пичаль.
Тогда правильно ли я понял, что эллипс может касаться четырехугольника в центрах сторон только если четырехугольник - параллелограмм? Вот это вот место:
(2) $G$ is affine-equivalent to $G (\zeta)$ for some primitive $n$th root of unity $\zeta$.
что значит?

[arseniiv]

Сверился со статьёй на всякий случай — означает, как и показалось, что $G$ аффинно переводится в $G(\zeta)$, а $G(\zeta)$ — не очень удачное обозначение, на мой взгляд — есть многоугольник с вершинами $1,\zeta,\zeta^2,\ldots$. И тогда вы правильно понимаете, ведь $G(i)$ есть квадрат.

[wrest]

arseniiv
Спасибо, ну тогда это вроде тривиально (в смысле вписывания эллипсов в четырехугольники, может там в статье что-то и хорошее есть, но к теме эллипсов не относится): ясно, что максимальный по площади эллипс вписанный в квадрат это вписанная в квадрат окружность и она касается середин сторон, окружность переходит в эллипс касающийся середин сторон параллелограмма (поскольку аффинное преобразование сохраняет касания и отношения, в частности середины сторон), в который переходит квадрат. Слишком частный случай.

[grizzly]

grizzly в сообщении #1350554 писал(а):

А вот если многоугольник произвольный, тогда интересно, не будут ли корни производной как-то связаны с $n$-эллипсом (аналог эллипса, имеющий $n$ фокусов). Как-то быстро я ничего такого найти не смог. Может, проще провести какой-то численный эксперимент, а тогда уже искать?

Убедился на простом примере, что это не оно.