Асимптотика интеграла с параметром

[RichPeach]

Здравствуйте. Возник вопрос об оценке одного интеграла вида:

$$ I(k)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos k(x^4-x)dx,\quad\text{при}~k=100 $$

Взят он был из математического тривиума В.И. Арнольда. Такая же задача с интегралом

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} (x^4+4x+4)^{-100}dx$$

решилась довольно легко (с погрешностью в ~1%) с помощью применения метода перевала в $\mathbb{R}$, но с первым интегралом возникли затруднения. Полагаю, необходимо применить метод перевала в $\mathbb{C}$, но тут-то у меня и тупик. Откуда главный вопрос: как правильно применить метод перевала в комплексной плоскости к этой задаче? А также хочу спросить, возможно ли какими-нибудь хитрыми методами явно вычислить

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos(x^4-x)dx$$

и тому подобное? Например, в тех же пределах от $\cos x^n$ или $\sin x^n$ при $n\geqslant 2$ вычисляется довольно несложно.

[DeBill]

RichPeach в сообщении #1350398 писал(а):

возможно ли какими-нибудь хитрыми методами явно вычислить

Явно - нет.

RichPeach в сообщении #1350398 писал(а):

Полагаю,

А метод стационарной фазы - знаете?

[Евгений Машеров]

В порядке досужего размышления. Поскольку задача "от Арнольда" - возможно, она на "развитие интуитивных соображений", и они состоят в том, что кроме небольшого участка, скорость изменения подынтегральной функции настолько высока, что при интегрировании получается пренебрежимо малая величина?

[thething]

Похожие интегралы разбираются в книге Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. Параграф 15. Да, это метод стационарной фазы.

[RichPeach]

DeBill, именно этим методом я и воспользовался для второго интеграла, но не знал, что он именно так называется. Меня просто немного смутил этот типовой приём (сам теперь не понимаю, почему) с переходом к интегралу вида

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{ik(x^4-x)}dx$$

Поэтому я пошёл смотреть метод перевала в $\mathbb{C}$ и встрял. Время прошло, со свежей головой на основе предыдущего выражения сделал буквально то же самое, что и со вторым интегралом и получил:

$$I(100)\approx \sqrt{\frac{\sqrt[3]{2}\pi}{300}}\cos \left(300\sqrt[3]{2^{-8}}-\frac{\pi}{4}\right)\approx -0.09058 $$

что доставляет ошибку примерно в четверть процента.

Евгений Машеров, да, это в сущности и есть метод стационарной фазы. Тут ещё дело в названиях. У метода перевала и метода стационарной фазы суть одна. Названия, похоже, меняются в зависимости от того, где метод применяется ($\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$, соответственно) и его геометрической интерпретации.

thething, спасибо за ссылку.

[ewert]

Кстати уж, насчёт терминологии:

RichPeach в сообщении #1350398 писал(а):

с помощью применения метода перевала в $\mathbb{R}$

Это принято называть методом Лапласа. Он, как и метод стационарной фазы -- сугубо вещественный. А метод перевала -- их комплексное обобщение (собственно, почему "перевал": потому, что при движении через стационарную точку вдоль какой-то линии всё сводится к методу Лапласа, а при движении вдоль линии перпендикулярной -- к методу стационарной фазы).

[DeBill]

RichPeach в сообщении #1350514 писал(а):

У метода перевала и метода стационарной фазы суть одна

Это - смотря что называть сутью...
Если имеется в виду, что в интеграл главный вклад дает малая окрестность некой точки (т.е., имеет место "принцип локализации") - то - да, это есть так. Однако, это , по большому счету, лишь внешнее проявление существа дела. Потому как ответ на вопрос "а почему -так?" в этих методах - разный: в методе Лапласа, пр-п локализации выполняется потому, что вне малой окрестности (той точки) подынтегральная весчь мала; в методе стац. фазы - потому что, хотя вне малой окрестности, ф-я и не мала, но за счет ее быстрой осцилляции происходит взаимное сокращение-убитие, и результат оказывается малым. Итого: стац.фаза не сводится к перевалу (Лапласу).

[ewert]

DeBill в сообщении #1350527 писал(а):

Итого: стац.фаза не сводится к перевалу (Лапласу).

Вообще-то сводится, если развернуться в комплексную плоскость. Но можно и не разворачиваться, да.

(я хотел сказать, что для оценки главного слагаемого и его хвоста выгоднее всего развернуться; а для оценки исходного хвоста -- там да, осцилляции)

[RichPeach]

То есть я правильно понимаю, что к первому интегралу формально надо применить метод Лапласа, а ко второму -- стационарной фазы?

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}(x^4+4x+4)^{-100}dx$$

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos100(x^4-x)dx$$

Выкладки для обоих практически идентичные, но характер у них разный (как раз "малая окрестность" и "осцилляции", соответственно). Просто хочу окончательно разобраться в терминологии

[ewert]

Верно всё, кроме идентичности выкладок -- идентичны лишь идеи. Во-первых, главный член определяется разныси интегралами (пусть в известном смысле и сводящимися друг к другу). Во-вторых, в методе стацфазы труднее оценивать поправки из-за существенной знакопеременности подынтегрального выражения.