Вписываем эллипсы в четырехугольники

[grizzly]

wrest в сообщении #1349960 писал(а):

если я правильно понял, не идет о внутри-вписанных эллипсах

Нет, я понял иначе. Посмотрите рис. 2.22 и чуть выше описание к нему -- там вся внутренность треугольника соответствует фокусам эллипса.

[wrest]

grizzly
Там явно не написано что оба внутри, но возможно это так и есть, да.

Кстати! Там ниже написано еще вот что (это я пропустил как-то мимо ушей при первом пролистывании) про ГМТ фокусов:

Цитата:

Для четырехугольника, как легко понять, такие точки
образуют некоторую кривую (на самом деле она будет кубикой –– кривой
третьего порядка),

Так что это не гипербола! А ведь я подозревал... При движении туда-сюда точно построенных фокусов, в геогебре, проведенная через них гипербола немного "гуляла" а не стояла мертво, что я списал на неточность построения геогеброй коники (гиперболы) по 5 точкам.

[wrest]

Еще из жизни эллипсов -- в треугольниках.
Знание вроде на первый взгляд не очень полезное для нашей задачи, но пусть будет.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$, а точки $P,Q,R$ -- середины его сторон.
1. Тогда ГМТ центров вписанных в $\triangle ABC$ эллипсов это внутренность $\triangle PQR$
2. Точки касания вписанного в $\triangle ABC$ эллипса максимальной площади это $P,Q,R$, а центр этого эллипса -- пересечение медиан $\triangle ABC$ (т.е. его барицентр, так что барицентр треугольника и вписанного в него эллипса максимальной площади - совпадают).

Да, в отношении четырехугольников возможно (но это не точно!) может получаться так, что барицентр четырехугольника является центром вписанного эллипса максимальной площади, что возможно подвинет нас в решении задачи

wrest в сообщении #1349010 писал(а):

1. Строить вписанный эллипс (фокусы и точки касания) максимальной площади (такой эллипс - единственный).

[alcoholist]

wrest в сообщении #1350287 писал(а):

ГМТ центров вписанных в $\triangle ABC$ эллипсов это внутренность $\triangle PQR$

Чуть-чуть раздвойте точку $A$, чтобы получился четырехугольник $A_1A_2BC$... С ГМЦ какая-то катастрофа происходит при этом?

[wrest]

alcoholist в сообщении #1350377 писал(а):

С ГМЦ какая-то катастрофа происходит при этом?

Конечно происходит, да ещё и какая!
Добавляется еще одна прямая которой надо касаться.
Логика простая. У коники пять параметров. В случае вписывания в треугольник три параметра - это три касания, остается два, так что ГМТ центров это двумерная область (площадь). При вписывании в четырехугольник "расходуется" четыре параметра на четыре касания. Остается один "свободный" параметр, так что ГМТ центров эллипсов это одномерная область -- кривая (отрезок прямой, на самом деле). При вписывании коники в пятиугольник "расходуются" все пять параметров и тогда область нуль-мерная, т.е. точка и коника единственная.

[alcoholist]

wrest в сообщении #1350378 писал(а):

Конечно происходит, да ещё и какая!
Добавляется еще одна прямая которой надо касаться.

Мне легче обратно отматывать. Вот четырехугольники, ГМЦ -- отрезок, он как-то непрерывно деформируется, пока две вершины сближаются. Вершины слиплись и БАЦ: предел семейства отрезков -- заполненный треугольник!

[wrest]

alcoholist в сообщении #1350382 писал(а):

Мне легче обратно отматывать. Вот четырехугольники, ГМЦ -- отрезок, он как-то непрерывно деформируется, пока две вершины сближаются. Вершины слиплись и БАЦ: предел семейства отрезков -- заполненный треугольник!

"БАЦ" -- это неустранимый разрыв. На самом деле, когда вершины 4-угольника сближаются, отрезок (ГМТ центров вписанных эллипсов) начинает превращаться в среднюю линию возникающего треугольника, а потом БАЦ -- и из отрезка делается целый треугольник (одна из сторон которого, правда, эта средняя линия), скачком.