Анзац для функции, асимптотически являющейся однородной

[Gickle]

Всем доброго дня. Возник немного странный вопрос, который я даже нормально сформулировать не могу. Постараюсь объяснить поэтапно.

Пусть имеется (гладкая) лямбда-однородная функция (для простоты) двух переменных $f(s t, s^{-1/\beta_0} x) = s^{\alpha_0/\beta_0} f(t,x)$. Из условия однородности следует $f(t,x) = t^{\alpha_0} g(t^{\beta_0}x),$ где $g(.)$ есть некоторая функция одной переменной. Понятно, что условие однородности является "очень жёстким", так что далеко не все функции двух переменных имеют такой вид. Теперь мы несколько ослабим условия и потребуем, чтобы $f(.,.)$ была такой, что $f(t,x) = t^{\alpha(t)} g (t^{\beta(t)} x).$ И пусть $\alpha(t) \to \alpha_0, $ $\beta(t) \to \beta_0$ при $t \to \infty.$ Если рассматривать $t$ в качестве "времени", то эта формула подразумевает, что решение, даваемое $f(t,x)$ уже "как бы самоподобно", но коэффициенты однородности меняются во "времени" и лишь асимптотически стремятся к $\alpha_0$ и $\beta_0$. Но "форма решения" $g(.)$ уже правильная. А теперь мне хотелось бы подобрать параметризацию так, чтобы

$$f(t,x) = t^{\alpha(t)} G(t^{\beta(t)} x; t),$$

причём $\alpha(t) \to \alpha_0,$ $\beta(t) \to \beta_0$ и $G(.; t) \to g(.)$ при $t \to \infty.$ То есть хочется параметризовать произвольную (гладкую) функцию двух переменных таким образом, чтобы отчётливо можно было отдельно отслеживать "установление формы" и "установление коэффициентов однородности" с течением "времени" $t$. Но мне почему-то кажется, что анзац, приведённый сверху, избыточен и что можно подобрать явный вид функции $G(.;t)$, выраженный через $g(.)$ и некоторую функцию от $t$.

В общем, извиняюсь за сумбурное изложение, надеюсь, что хоть как-то понятно, чего хотелось бы добиться.