Хотелось бы доразобраться в теме вписывания эллипсов в четырехугольники.
Тема начата здесь:
«Задача по геометрии по мотивам задачи 6 IMO-2018» но тамошний топикстартер в явном виде не хочет продолжать поскольку его вопросы как-то решились:
Задача из раздела "Помогите решить" полностью завершена
Поэтому открываю новую тему.
Итак, имеется
доказательство того, что для произвольного выпуклого четырехугольника справедливо следующее:
-- через вершины и пересечение диагоналей не проходит ни одного вписанного эллипса
-- через диагонали и стороны, кроме пяти точек их пересечения, проходит ровно один вписанный эллипс
-- через все остальные точки внутри четырехугольника проходит ровно два вписанных эллипса
Кроме этого, имеется
доказательство того же автора что
-- существует единственный вписанный эллипс максимальной площади
-- геометрическое место точек центров вписанных эллипсов -- отрезок между серединами диагоналей (не включая концы отрезка), причем каждой точке на этом отрезке соответствует какой-то вписанный эллипс с центром в этой точке.
Исходя из вышеуказанного, ещё хотелось бы научиться, если дан произвольный выпуклый четырехугольник (ну, можно конечно ограничить: нет параллельных сторон; или все стороны различны):
1. Строить вписанный эллипс (фокусы и точки касания) максимальной площади (такой эллипс - единственный).
2. Строить фокусы вписанного эллипса по данной точке касания на одной из сторон (такой эллипс - единственный).
3. Дополнительно к пункту 2 -- строить второй вписанный эллипс (фокусы и точки касания) равный по площади построенному по пункту 2 (а такой должен всегда существовать и только один, если только в пункте 2 уже не выбран эллипс максимальной площади).
Собсно вопросы: можно ли решить пункты 1-3
циркулем и линейкой и как?
На этой картинке дан произвольный выпуклый четырехугольник (никакие две стороны не параллельны, все стороны различны, произведения длин противоположных сторон не равны).
Фиолетово синими гиперболами (хотя не всегда это гипербола) показано ГМТ фокусов вписанных эллипсов.
Фиолетово-синий отрезок показывает ГМТ центров вписанных эллипсов.
Зеленые кривые показывают ГМТ "острых" вершин вписанных эллипсов.
Красная кривая показывает ГМТ "тупых" вершин вписанных эллипсов.
Серым показаны диагонали, а серые точки на них - середины диагоналей.
![\begin{tikzpicture}
\draw[dashed] (-2,0)--(6,0);
\draw[dashed] (-2,4)--(6,4);
\draw[dashed] (0,-2)--(0,6);
\draw[dashed] (4,-2)--(4,6);
\draw[dashed] (-2,-2)--(6,6);
\draw[dashed] (-2,6)--(6,-2);
\draw[dashed] (-2,-1)--(5,6);
\draw[dashed] (-1,-2)--(6,5);
\draw[dashed] (-2,3)--(3,-2);
\draw[dashed] (1,6)--(6,1);
\draw[line width=2pt] (0,0)--(4,0)--(4,4)--(0,4)--cycle;
\fill (0,1) circle (3pt);
\fill (1,0) circle (3pt);
\fill (4,3) circle (3pt);
\fill (3,4) circle (3pt);
\end{tikzpicture}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/2/f12829d7a3a99453e920c63ea5b6754482.png "\begin{tikzpicture}
\draw[dashed] (-2,0)--(6,0);
\draw[dashed] (-2,4)--(6,4);
\draw[dashed] (0,-2)--(0,6);
\draw[dashed] (4,-2)--(4,6);
\draw[dashed] (-2,-2)--(6,6);
\draw[dashed] (-2,6)--(6,-2);
\draw[dashed] (-2,-1)--(5,6);
\draw[dashed] (-1,-2)--(6,5);
\draw[dashed] (-2,3)--(3,-2);
\draw[dashed] (1,6)--(6,1);
\draw[line width=2pt] (0,0)--(4,0)--(4,4)--(0,4)--cycle;
\fill (0,1) circle (3pt);
\fill (1,0) circle (3pt);
\fill (4,3) circle (3pt);
\fill (3,4) circle (3pt);
\end{tikzpicture}")
![\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[dashed, dash pattern=on 5 off 2 on 1 off 2] (0,0)--(22,11);
\draw[dashed] (1,0)--(21,20);
\draw[dashed] (8,0)--(8,20);
\draw[dashed] (22,9)--(0,20);
\draw[dashed] (22,10.5)--(0,5);
\draw[dashed] (5.333,0)--(18.666,20);
\draw[dashed] (6.8571,20)--(12.5714,0);
\draw[dashed] (0.76923,0)--(22,17.25);
\draw[dashed] (13.75,0)--(3.75,20);
\draw[dashed] (1.4,0)--(12.8,20);
\draw[dashed] (9.4737, 20)--(11.5789,0);
\draw[line width=2] (8,7)--(10.4,7.6)--(14,13)--(8,16)--cycle;
\draw[fill] (8,11.5) circle(4pt);
\draw[fill] (10,15) circle(4pt);
\draw[fill] (10,7.5) circle(4pt);
\draw[fill] (10.75,8.12) circle(4pt);
\end{tikzpicture}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/c/fac867bfc8085b596ba566d9f24455e482.png "\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[dashed, dash pattern=on 5 off 2 on 1 off 2] (0,0)--(22,11);
\draw[dashed] (1,0)--(21,20);
\draw[dashed] (8,0)--(8,20);
\draw[dashed] (22,9)--(0,20);
\draw[dashed] (22,10.5)--(0,5);
\draw[dashed] (5.333,0)--(18.666,20);
\draw[dashed] (6.8571,20)--(12.5714,0);
\draw[dashed] (0.76923,0)--(22,17.25);
\draw[dashed] (13.75,0)--(3.75,20);
\draw[dashed] (1.4,0)--(12.8,20);
\draw[dashed] (9.4737, 20)--(11.5789,0);
\draw[line width=2] (8,7)--(10.4,7.6)--(14,13)--(8,16)--cycle;
\draw[fill] (8,11.5) circle(4pt);
\draw[fill] (10,15) circle(4pt);
\draw[fill] (10,7.5) circle(4pt);
\draw[fill] (10.75,8.12) circle(4pt);
\end{tikzpicture}")
, 
, 
, 
- искомые точки.
на рисунке.
Надо вписать в него эллипс с точками касания 
и 
) тоже гипербола, не показана.
существует единственная такая точка 
, что