Представить интегралом Фурье

[makbomb]

Функцию $f(x) = \ln(x^2 + x + 1) - \ln(x^2 - x + 1)$, заданную на промежутке $[0; \infty]$ представить интегралом Фурье

$$\int\limits_{0}^{\infty}[a(z)\cdot\cos(zx) + b(z)\cdot\sin(zx)]dx$$

, продолжив ее нечетным образом на интервал $[-\infty; 0]$. Проблема заключается в вычислении b(z), то есть интеграла

$$2\cdot\int\limits_{0}^{\infty}[\ln(x^2 + x + 1) - \ln(x^2 - x + 1)]\sin(zx)dx$$

. Интегрирование логарифмов отдельно приводит к расходящемуся несобственному интегралу. При представлении логарифма разности как логарифма от рациональной дроби и интегрировании по частям с дальнейшим разложением на простые дроби, прихожу к двум интегралам, вычислить которые затрудняюсь:

$$ b(z) = \frac{2}{z}\int\limits_{0}^{\infty}\cos(zx)\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}dx + \frac{2}{z}\int\limits_{0}^{\infty}\cos(zx)\frac{-2x + 1}{x^2 - x + 1}dx$$

. Вольфрам дает ответ неопределенного интеграла очень большой и в специальных функциях, но возможно здесь можно свести к известному определенному интегралу. Прошу помощи у специалистов-интегральщиков.

[thething]

makbomb в сообщении #1348389 писал(а):

продолжив ее нечетным образом на интервал $[-\infty; 0]$

А где Вы её продолжили? На всей прямой можно использовать вычеты.

-- 22.10.2018, 20:12 --

И это мне кажется, или она уже нечётная?

[ewert]

Замена икса на минус икс во втором интеграле (ну или в первом) даёт интеграл по всей оси, который стандартно считается с помощью вычетов.

[makbomb]

ewert в сообщении #1348398 писал(а):

Замена икса на минус икс во втором интеграле (ну или в первом) даёт интеграл по всей оси, который стандартно считается с помощью вычетов.

Спасибо за ответ, однако не существует ли другого способа вычисление интеграла? Дело в том, что это задание и эта тема идет до криволинейных интегралов и вычисления определенных интегралов с помощью вычетов.

[ewert]

Простого -- не существует. Но можно свести к двум более простым интегралам от $\frac{\cos\alpha t}{t^2+1}$ и от $\frac{t\,\sin\alpha t}{t^2+1}$ (собственно, достаточно первого), которые, возможно, у вас были; а если не было, то посчитать, конечно, можно, но без вычетов умучаешься.

[thething]

Да не, не сильно умучаешься. Для первого из интегралов можно рассмотреть функцию $f(x)=e^{-\left\lvert x\right\rvert}$ и представить её в виде интеграл Фурье. После отделения действительной части получится то, что надо.

[ewert]

Ну это да. Но как до этого догадаться?... -- только если результат для этого преобразования уже встречался.

[makbomb]

ewert в сообщении #1348400 писал(а):

Простого -- не существует. Но можно свести к двум более простым интегралам от $\frac{\cos\alpha t}{t^2+1}$ и от $\frac{t\,\sin\alpha t}{t^2+1}$ (собственно, достаточно первого), которые, возможно, у вас были; а если не было, то посчитать, конечно, можно, но без вычетов умучаешься.

Теперь понятно. Спасибо!